Ecuaciones de rectas paralelas

En esta Sección aprenderás a distinguir si dos rectas son paralelas, y dada la ecuación de la recta, aprenderás a encontrar la ecuación de la segunda recta que es paralela a ella, mientras sepas un punto de la segunda recta.

Supongamos que un plano de coordenadas es transpuesto sobre el mapa de una ciudad y que la calle principal tuviera la ecuación $y=2x+5$ . Si la avenida Broad fuera paralela a la calle principal y pasara por el punto (3, 14), ¿cuál sería la ecuación de la avenida Broad? ¿Cómo lo sabes? En esta Sección, dada la ecuación de una recta, aprenderás cómo encontrar la ecuación de una segunda recta que es paralela a la primera, siempre y cuando sepas un punto por el cual pasa la segunda recta.

Orientación

En una Sección anterior aprendimos a identificar rectas paralelas.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Cada uno de los gráficos a continuación tiene la misma pendiente, la cual es 2. De acuerdo con la definición, todas estas rectas son paralelas.

Ejemplo A

¿Son $y=\frac{1}{3} x-4$ y $-3x+9y=18$ paralelas?

Solución: La pendiente de la primera recta es $\frac{1}{3}$ . Cualquier recta paralela a ésta también debe tener una pendiente de $\frac{1}{3}$ .

Encuentra la pendiente de la segunda ecuación: $A=-3$ y $B=9$ .

$slope=\frac{-A}{B}=\frac{3}{9} \rightarrow \frac{1}{3}$

Estas dos rectas tiene la misma pendiente por lo tanto son paralelas.

Cómo escribir ecuaciones de rectas paralelas

A veces te pedirán que escribas la ecuación de una recta paralela para una recta dada que pasa por un punto dado. En el próximo ejemplo verás cómo hacer esto.

Ejemplo B

Encuentra la ecuación paralela a la recta $y=6x-9$ que pasa por (–1, 4) .

Solución:

Rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo tanto la pendiente será 6. Tienes un punto y la pendiente, por lo tanto puedes usar la forma punto-pendiente.

$y-y_1& =m(x-x_1)\\\y-4& =6(x+1)$

Podrías reescribirla en la forma pendiente-intercepto:

$y& =6x+6+4\\\y& =6x+10$

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la recta paralela a la recta $y-5=2(x+3)$ que pasa por el punto (1, 1). .

Solución:

Primero, notamos que esta ecuación está en forma punto-pendiente, por lo tanto usamos la forma punto-pendiente para escribir esta ecuación.

$y-y_1=m(x-x_1)&& \ \text{Starting with point-slope form}. \\\y-1=2(x-1)&& \ \text{Substituting in the slope and point}. \\\y-1=2x-2&& \ \text{Distributing on the left}.\\\y-1+1=2x-2+1, && \ \text{Rearranging into slope-intercept form}.\\\y=2x-1$

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica guiada

Encuentra la ecuación de la recta paralela a la recta $2x-3y=24$ que pasa por el punto (2, -6) .

Solución:

Ya que esta está en forma estándar, primero debemos encontrar la pendiente. Para $Ax+By=C$ , recuerda que la pendiente es $m=-\frac{A}{B}$ . Ya que $A=2$ y $B=-3$ :

$m=-\frac{A}{B}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}.$

Ahora que tenemos la pendiente, podemos usarla en:

$y-y_1=m(x-x_1)&& \ \text{Starting with point-slope form}. \\\y-2=\frac{2}{3}(x+6)&& \ \text{Substituting in the slope and point}. \\\y-2=4x-12&& \ \text{Distributing on the left}.\\\y-2+2=4x-12+2, && \ \text{Rearranging into slope-intercept form}.\\\y=4x-10$

Práctica

SEl siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Equations of Parallel and Perpendicular Lines (9:13)

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Define rectas paralelas .

Determina la pendiente de una recta paralela a cada recta dada.

$y=-5x+7$
$2x+8y=9$
$x=8$
$y=-4.75$
$y-2= \frac{1}{5}(x+3)$

Para las siguientes ecuaciones, encuentra la recta paralela a ellas con los puntos dados.

$y=-\frac{3}{5}x+2; (0,-2)$
$5x-2y=7; (2,-10)$
$x=y; (2,3)$
$x=-5; (-2,-3)$

Revisión mixta

Grafica la ecuación $2x-y=10$ .
En un barco a escala, la chimenea mide 8 pulgadas de alto. La chimenea real mide 6 pies de alto. ¿Qué tan alto es el mástil en el modelo a escala si el mástil real mide 40 pies de alto?
La cantidad de dinero que cobran por un aviso clasificado es directamente proporcional al largo del aviso. Si un aviso de 50 palabras cuesta $11,50, ¿cuánto cuesta de un aviso de 70 palabras?
Simplifica $\sqrt{112}$ .
Simplifica $\sqrt{12^2-7^2}$ .
¿Es $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ racional, irracional, o ninguno de los dos? Explica tu respuesta.
Resuelve para $s: \ 15s=6(s+32)$ .

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