Ecuaciones de rectas perpendiculares

En esta Sección aprenderás cómo distinguir si dos rectas son perpendiculares, y dada la ecuación de una recta, aprenderás a encontrar la ecuación de una segunda recta perpendicular a ella, siempre y cuando sepas un punto por el que pasa la segunda recta.

Supongamos que un plano cartesiano fuese transpuesto sobre el plano de una casa en construcción, y dos rectas en el plano son perpendiculares entre sí. Si una de las rectas tuviese la ecuación $y= \frac{1}{2} x + 1$ , y la otra recta pasase por el punto (3, 3), ¿cuál sería la ecuación de la segunda recta? Al haber completado esta Sección, dada la ecuación de una recta, serás capaz de encontrar la ecuación de una segunda recta que es perpendicular a la primera, siempre y cuando sepas un punto por el que pasa la segunda recta.

Orientación

Las rectas pueden ser paralelas, coincidentes (se sobreponen), o intersecantes (se cruzan). Las rectas que se intersectan en un ángulo de $90^\circ$ tienen un nombre especial: ectas perpendiculares . Las pendientes de las rectas perpendiculares tienen una propiedad especial:

Las rectas perpendiculares forman un ángulo recto. El producto de sus pendientes es –1.

$m_1 \cdot m_2=-1$

Ejemplo A

Verifica que las siguientes rectas sean perpendiculares.

Recta $a$ : pasa por los puntos (–2, –7) y (1, 5)

Recta $b$ : pasa por los puntos (4, 1) y (–8, 4)

Solución: Encuentra la pendiente de cada recta.

$Line \ a: \frac{5-(-7)}{1-(-2)}=\frac{12}{3}=\frac{4}{1} && Line \ b: \frac{4-1}{-8-4}=\frac{3}{-12}=\frac{-1}{4}$

Para verificar si las rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser igual a –1.

$\frac{4}{1} \times \frac{-1}{4}=-1$

Ya que el producto de sus pendientes es $-1$ , las rectas $a$ y $b$ son perpendiculares.

Ejemplo B

Determina si las rectas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de las dos.

Recta 1: $2x=y-10$ ; Recta 2: $y=-2x+5$

Solución: Empieza por encontrar las pendientes de las rectas 1 y 2.

$2x+10& =y-10+10\\\2x+10& =y$

La pendiente de la primera recta es 2.

$y=-2x+5$

La pendiente de la segunda recta es –2.

Estas pendientes no son idénticas, por lo tanto las rectas no son paralelas.

Para comprobar si las rectas son perpendiculares, encuentra el producto de las pendientes. $2 \times -2=-4$ . El producto de las pendientes no es –1, por lo tanto las rectas no son perpendiculares.

Las rectas 1 y 2 no son ni paralelas ni perpendiculares.

Cómo escribir ecuaciones de rectas perpendiculares

Escribir ecuaciones de rectas perpendiculares es un poco más difícil que escribir ecuaciones de rectas paralelas. La razón es que debes encontrar la pendiente de la recta perpendicular antes de proceder a escribir la ecuación.

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a la recta $y=-3x+5$ que pasa por los puntos (2, 6).

Solución: Empieza por encontrar las pendientes de las rectas perpendiculares. Usando la definición de recta perpendicular, $m_1 \cdot m_2=-1$ . La pendiente de la recta original es –3. Sustituye eso por $m_1$ .

$-3 \cdot m_2=-1$

Resuelve para $m_2$ , la pendiente de la recta perpendicular.

$\frac{-3m_2}{-3}& =\frac{-1}{-3}\\\m_2& =\frac{1}{3}$

La pendiente de la recta perpendicular a $y=-3x+5$ es $\frac{1}{3}$ .

Ahora tienes la pendiente y un punto. Usa la forma punto-pendiente para escribir su ecuación.

$y-6= \frac{1}{3}(x-2)$

Puedes reescribir esto en forma pendiente-intercepto: $y=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}+6$ .

$y=\frac{1}{3} x+\frac{16}{3}$

Enlace multimedia: Para obtener más ayuda sobre dibujar rectas, visita AlgebraLab .

Video de Repaso

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Práctica guiada

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a la recta $y=5$ y que pasa por el punto (5, 4).

Solución:

La recta $y=5$ es una recta horizontal cuya pendiente es cero.

Las rectas que tienen un ángulo $90^\circ$ con una línea horizontal son rectas verticales.

Las rectas verticales tienen la forma $x=constant$ .

Ya que la recta vertical debe pasar por (5, 4), la ecuación es $x=5$ .

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Equations of Parallel and Perpendicular Lines (9:13)

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Define rectas perpendiculares .
¿Qué es cierto sobre las pendientes de rectas perpendiculares?

Determina la pendiente de una recta perpendicular a cada recta dada.

$y=-5x+7$
$2x+8y=9$
$x=8$
$y=-4.75$
$y-2= \frac{1}{5}(x+3)$

En 8–14, determina si las rectas son paralelas, perpendiculares, o ninguna de las dos.

Recta $a:$ que pasa por los puntos (–1, 4) y (2, 6); Recta $b:$ que pasa por los puntos (2, –3) y (8, 1).
Recta $a:$ que pasa por los puntos 4, –3) y (–8, 0); Recta $b:$ que pasa por los puntos (–1, –1) y (–2, 6).
Recta $a:$ que pasa por los puntos (–3, 14) y (1, –2); Recta $b:$ que pasa por los puntos (0, –3) y (–2, 5).
Recta $a:$ que pasa por los puntos (3, 3) y (–6, –3); Recta $b:$ que pasa por los puntos (2, –8) y (–6, 4).
Recta 1: $4y+x=8$ ; Recta 2: $12y+3x=1$
Recta 1: $5y+3x+1$ ; Recta 2: $6y+10x=-3$
Recta 1: $2y-3x+5=0$ ; Recta 2: $y+6x=-3$

Para las siguientes ecuaciones, encuentra la recta perpendicular a ella que pasa por el punto dado.

$x+4y=12; (-3,-2)$
$y=\frac{1}{3}x+2; (-3,-1)$
$y=\frac{3}{5}x-4; (6,-2)$
$2x+y=5; (2,-2)$
$y=x-6; (-2,0)$
$5x-7=3y; (8,-2)$
$y=\frac{2}{3}x-1; (4,7)$

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