Familias de rectas

Piensa en los miembros de tu familia. Probablemente todos tienen cosas en común, pero definitivamente no son todos idénticos. Lo mismo pasa con las familias de rectas. ¿Qué podría tener en común una familia de rectas? ¿Qué podría ser diferente? En esta Sección aprenderás sobre los dos tipos de familias de rectas y cómo escribir ecuaciones generales para cada tipo de familia.

Orientación

Una línea recta tiene dos propiedades importantes, su pendiente y su intercepto . La pendiente nos dice qué tan abruptamente la recta crece o disminuye, y el intercepto nos dice dónde la recta intersecta el eje . En esta Sección veremos las dos familias de rectas.

Una familia de rectas es un conjunto de rectas que tienen algo en común entre sí. Las líneas rectas pueden pertenecer a dos tipos de familia: donde la pendiente es la misma y donde el intercepto es el mismo.

Familia 1: La pendiente es la misma

Recuerda que las rectas con la misma pendiente son paralelas. Cada recta en el plano cartesiano a continuación tiene una pendiente idéntica con diferentes interceptos . Todas las rectas se ven iguales pero están cambiadas arriba y abajo del eje . A medida que crece la recta asciende en el eje y a medida que disminuye la recta desciende en el eje . Este comportamiento es a menudo conocido como desplazamiento vertical .

Ejemplo A

Escribe una ecuación para la recta roja en la imagen anterior.

Solución:

Podemos ver en el gráfico que la ecuación tiene un intercepto -de 1. Ya que todas las rectas tienen la misma pendiente, podemos ver cualquier recta para determinar la pendiente, entonces la pendiente es . Por lo tanto, la ecuación de la recta roja es:

Familia 2: El intercepto ies el mismo

El gráfico a continuación muestra varias rectas con el mismo intercepto pero con diferentes pendientes.

Ejemplo B

Escribe la ecuación para la recta marrón en la imagen anterior.

Solución:

Todas las rectas comparten el mismo intercepto , que es 2. Si miramos el gráfico sabemos que la pendiente es -1. Entonces, la ecuación es:

Ejemplo C

Escribe una ecuación general para cada familia de ecuaciones mostrada en las imágenes de esta Sección.

Soluciones:

Para la familia 1, la recta roja tiene la ecuación Ya que todas las rectas comparten la misma pendiente, mantenemos la pendiente de -2. Ya que todas las rectas comparten la misma pendiente, mantenemos la pendiente de , entonces usaremos :

Para la familia 2, la recta marrón tiene la ecuación Ya que todas las rectas tienen el mismo intercepto pero diferentes pendientes:

Video de Repaso

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Práctica guiada

Escribe la ecuación de la familia de rectas perpendiculares a .

Solución:

Primero debemos encontrar la pendiente de :

Ahora buscamos la pendiente de cualquier recta perpendicular a nuestra recta original:

La familia de rectas perpendiculares a tendrá una pendiente de . Todas ellas tendrán diferentes interceptos :

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Equations of Parallel and Perpendicular Lines (9:13)

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1. ¿Qué es una familia de rectas?
2. Encuentra la ecuación de la recta paralela a que pasa por el punto (3, –2).
3. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el punto (2, 8).
4. Encuentra la ecuación de la recta paralela a que pasa por el punto (2, 2).
5. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el punto (6, 2).
6. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (2, –4) y es perpendicular a .
7. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y es paralela a .

En 8–11, escribe la ecuación de la familia de rectas que satisfacen las condiciones dadas.

8. Todas las rectas pasan por el punto (0, 4).
9. Todas las rectas son perpendiculares a .
10. Todas las rectas son paralelas a .
11. Todas las rectas pasan por el punto (0, –1).
12. Escribe una ecuación para una recta paralela a la ecuación graficada a continuación.
13. Escribe una ecuación para una recta perpendicular a la ecuación graficada a continuación y que pasa por el punto (0, –1).

Evaluación breve

1. Escribe una ecuación para una recta con una pendiente de y un intercepto de (0, 8).

2. Escribe una ecuación para una recta que contiene los puntos (6, 1) y (7, –3).

3. Un plomero cobra $75 por 2,5 horas de trabajo y $168,75 por 5 horas de trabajo.

Suponiendo que la situación es lineal, escribe una ecuación que represente el cobro del plomero y úsala para predecir el costo de una hora de trabajo.

4. Reescribe en forma estándar: .

5. Sasha se encargó de los boletos para el partido de fútbol. Los boletos de estudiante costaban $3,00 y los boletos de adultos costaban $3,75. Ella juntó un total de $337,50 y vendió 75 boletos de estudiante. ¿Cuántos boletos para adulto se vendieron?