Cómo ajustar las rectas a los datos

En esta Sección aprenderás cómo usar una calculadora gráfica para encontrar la recta que mejor se ajusta a un grupo de datos para que puedas hacer predicciones basadas en la ecuación de la recta.

Supongamos que cada día un camión de helados registra la temperatura máxima exterior y el número de helados vendidos. Luego ingresaron los datos en una calculadora gráfica. ¿Crees que puedan encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos? Si así fuera, ¿cómo lo harían? ¿Podrían hacer predicciones basados en la ecuación? Luego de completar esta Sección serás capaz de trabajar con problemas como este ingresando datos en una calculadora gráfica y encontrando la recta que mejor los represente.

Orientación

En las situaciones del mundo real hemos trabajado con ecuaciones lineales. Sin embargo, la mayoría de los datos de la vida son desordenados y no caben en una recta en forma pendiente-intercepto con 100% de exactitud. A causa de esta tendencia las personas pasan la mayoría de sus carreras tratando hacer encajar las rectas en los datos. Las ecuaciones creadas para encajar en los datos se usan para hacer predicciones, como lo verás en la siguiente Sección.

Esta Sección se centra en graficar diagramas de dispersión y en usar un diagrama de dispersión para encontrar una ecuación lineal que se adapte mejor a los datos.

Un diagrama de dispersión es un gráfico de todos los pares ordenados en una tabla. Esto significa que un diagrama de dispersión es una relación y no necesariamente una función. Además, el diagrama de dispersión es discreto , por ser un conjunto de distintos puntos. Aunque esperamos que la relación que estamos analizando sea lineal, no deberíamos esperar que todos los puntos encajen perfectamente en una línea recta. Más bien, los puntos estarán "dispersos" a lo largo de una línea recta. Hay muchas razones por lo que los datos no caen perfectamente en una recta. Estas razones incluyen errores de medición y valores atípicos. .

Un error de medición es la cantidad por la que te pasas al leer una regla o un gráfico.

Un dato atípico es un dato que no encaja en el patrón general de los datos. Tiende a estar "afuera" de la mayoría de los datos del diagrama.

Ejemplo A

Dibuja un diagrama de dispersión con los siguientes pares ordenados.

(0, 2), (1, 4.5), (2, 9), (3, 11), (4, 13), (5, 18), (6, 19.5)

Solución: Grafica cada par ordenado en un plano cartesiano.

Nótese que los puntos graficados en el plano anterior se parecen ser parte de una línea recta aunque no encajarían perfectamente. Si los puntos estuvieran alineados perfectamente sería muy fácil dibujar una recta a través de ellos y encontrar la ecuación de esa recta. Sin embargo, si los puntos están "dispersos" tratamos de encontrar la recta que se acomode mejor a los datos. El gráfico a continuación muestra varias potenciales rectas que encajan de la mejor manera .

Ves que podemos dibujar muchas rectas a través de los puntos en nuestro conjunto de datos. Estas rectas tienen ecuaciones que son muy diferentes entre sí. Queremos usar la recta que está más cerca a todos los puntos en el gráfico. El mejor candidato en nuestro gráfico es la línea roja, $A$ . La recta $A$ es la recta que mejor se acomoda a este diagrama de dispersión.

Cómo escribir ecuaciones para las rectas más adecuadas

Una vez que has decidido cuál es la mejor recta, necesitas escribir su ecuación encontrando dos puntos de la recta y usando ya sea:

Forma punto-pendiente;
Forma estándar; o
Forma pendiente-intercepto.

La forma que uses va a depender de la situación y de la facilidad de encontrar el intercepto $y-$ .

Usando la línea roja del ejemplo anterior, localiza dos puntos de la recta.

Encuentra la pendiente: $m=\frac{11-4.5}{3-1}=\frac{6.5}{2}=3.25$ .

Entonces $y=3.25x+b$ .

Sustituye (3, 11) en la ecuación. $11=3.25(3)+b \Rightarrow b = 1.25$

La ecuación de la recta que mejor se acomoda a los datos es $y=3.25x+1.25$ .

Cómo encontrar las ecuaciones de las rectas usando una calculadora

Las calculadores gráficas pueden hacer que escribir ecuaciones sea más fácil y más preciso. Dos personas trabajando con los mismos datos podrían obtener dos ecuaciones diferentes porque estarían dibujando rectas diferentes. Para obtener la ecuación más precisa para una recta podemos usar una calculadora gráfica. La calculadora usa un algoritmo matemático para encontrar la recta que minimiza el error entre los datos y la recta más adecuada.

Ejemplo B

Usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación de la recta que mejor se acomoda a los siguientes datos: (3, 12), (8, 20), (1, 7), (10, 23), (5, 18), (8, 24), (11, 30), (2, 10).

Solución:

Paso 1: Ingresa los datos en tu calculadora . Presiona [STAT] y elige la opción [EDIT] option.

Ingresa los datos en la tabla anotando los valores $x$ en la primera columna y los valores $y$ en la segunda columna.

Paso 2: Encuentra la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos.

Presiona [STAT] de nuevo y la flecha hacia la derecha para seleccionar [CALC] en la parte superior de la pantalla.

Elige la opción número 4: $LinReg(ax+b)$ y presiona [ENTER] . La calculadora mostrará $LinReg(ax+b)$ .

Presiona [ENTER] y te dará los valores $a$ y $b$ .

Aquí $a$ representa la pendiente y $b$ representa el intercepto $y-$ de la ecuación. La recta de regresión lineal es $y=2.01x+5.94$ .

Paso 3: Dibuja el diagrama de dispersión.

Para dibujar un diagrama de dispersión presiona [STATPLOT] [2nd] [Y=] .

Elige "Plot 1" y presiona [ENTER] .

Presiona la opción On y elige el "Type" como "scatter plot" (el que está destacado en negro).

Asegúrate de que los nombres de las listas $X$ e $Y$ coincidan con los nombres de la columna de la tabla en el Paso 1.

Elige el cuadrado o símbolo de suma como marca ya que un simple punto puede hacer que los puntos sean difíciles de ver.

Presiona [GRAPH] y ajusta el tamaño de la ventana para que puedas ver todos los puntos en el diagrama de dispersión.

Paso 4: Dibuja la recta que mejor se acomoda al diagrama de dispersión.

Presiona [Y=] .

Ingresa la ecuación de la recta que acabas de encontrar: $Y_1 = 2.01X+5.94$ .

Presiona [GRAPH] .

Cómo usar las rectas para resolver situaciones

Ejemplo C

Gal está entrenando para una carrera de 5k (cinco kilómetros). La siguiente tabla muestra sus tiempos para cada mes de su programa de entrenamiento. Supongamos que sus tiempos disminuyen en una línea recta a medida que pasa el tiempo. Encuentra una ecuación para una recta adecuada. Predice su tiempo de carrera si la carrera es en agosto.

Mes	Número de mes	Tiempo promedio (minutos)
Enero	0	40
Febrero	1	38
Marzo	2	39
Abril	3	38
Mayo	4	33
Junio	5	30

Solución: Empieza por hacer un diagrama de dispersión de los tiempos de Gal. La variable independiente, $x$ , es el número de mes y la variable dependiente, $y$ , es el tiempo de carrera en minutos. Dibuja todos los puntos de la tabla en el plano de coordenadas.

es el tiempo de carrera en minutos. Dibuja todos los puntos de la tabla en el plano de coordenadas.

Elige dos puntos en la recta que elegiste: (0, 41) y (4, 38).

Encuentra la ecuación de la recta, notando primero que uno de nuestros puntos, (0,41), es el intercepto $y$ . Ahora todo lo que necesitamos es encontrar la pendiente.

$m&=\frac{38-41}{4-0}=-\frac{3}{4}\\\y&=-\frac{3}{4}x+41$

En un problema del mundo real, la pendiente y el intercepto $y-$ tiene un significado físico.

$\text{Slope} = \frac{number \ of \ minutes}{month}$

Ya que la pendiente es negativa, el número de minuto que Gal pasa corriendo una carrera 5K disminuye a medida que pasan los meses. La pendiente nos dice que los tiempos de carrera de Gal disminuyen 0,75 minutos por mes.

El intercepto $y-$ nos dice que cuando Gal empezó a entrenar corría una distancia de 5K en 41 minutos, lo cual es un estimado ya que su tiempo real era 40 minutos.

El problema nos pide una predicción el tiempo de carrera de Gal en agosto. Ya que a junio se le asigna el número 5, le asignaremos el número 6 a agosto. Sustituimos $x=7$ en la recta adecuada a la ecuación.

$y=-\frac{3}{4}(7)+41 = -\frac{21}{4}+41=-\frac{21}{4}+\frac{164}{4}=\frac{143}{4}=35\frac{3}{4}$

La ecuación predice que Gal correrá la carrera 5K en 35,75 minutos.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica guiada

Dibuja un diagrama de dispersión y encuentra la ecuación de una recta adecuada para el siguiente conjunto de puntos: (57, 45) (65, 61) (34, 30) (87, 78) (42, 41) (35, 36) (59, 35) (61, 57) (25, 23) (35, 34).

Solución:

Primero dibujaremos un diagrama de dispersión:

Luego dibujamos una recta adecuada a simple vista.

Ya que los dos puntos verdes (34,30) y (25,23) están en la recta, podemos usarlos para escribir la ecuación. Primero, encontramos la pendiente:

$m=\frac{30-23}{34-25}=\frac{7}{9}$

Usamos esto en una forma punto-pendiente:

$y-30=\frac{7}{9}(x-34)$

$y-30=\frac{7}{9}x-\frac{7}{9}\cdot (34)$

Ya que $\frac{7}{9}\cdot (34)\approx 26.44$

$y-30=\frac{7}{9}x-26.44$

$y-30+30=\frac{7}{9}x-26.44+30$

$y=\frac{7}{9}x+3.56$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Fitting a Line to Data (7:48)

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

¿Qué es un diagrama de dispersión ? ¿En qué se diferencia de otros gráficos que has creado?
Define la recta más adecuada .
¿Qué es un dato atípico ? ¿Cómo se puede encontrar un dato atípico en un gráfico?
¿Cuáles son los dos métodos para encontrar la recta más adecuada?
Explica los pasos necesarios para encontrar una recta adecuada "a mano" ¿Cuáles son los problemas de usar este método?

Para cada conjunto de datos, dibuja un diagrama de dispersión y encuentra la ecuación de la recta más adecuada a mano.

(32, 43) (54, 61) (89, 94) (25, 34) (43, 56) (58, 67) (38, 46) (47, 56) (39, 48)
(12, 18) (5, 24) (15, 16) (11, 19) (9, 12) (7, 13) (6, 17) (12, 14)
(3, 12) (8, 20) (1, 7) (10, 23) (5, 18) (8, 24) (2, 10)

En 9 – 11, para cada conjunto de datos usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación de la recta más adecuada.

(57, 45) (65, 61) (34, 30) (87, 78) (42, 41) (35, 36) (59, 35) (61, 57) (25, 23) (35, 34)
(32, 43) (54, 61) (89, 94) (25, 34) (43, 56) (58, 67) (38, 46) (47, 56) (95, 105) (39, 48)
(12, 18) (3, 26) (5, 24) (15, 16) (11, 19) (0, 27) (9, 12) (7, 13) (6, 17) (12, 14)
Shiva está tratando de batir el record de comer samosas. El record actual es 53,5 samosas en 12 minutos. La siguiente tabla muestras cuantas samosas come durante su práctica diaria durante la primera semana de su entrenamiento. ¿Estará listo para el concurso si éste ocurre dos semanas después del día que empezó a entrenar? ¿Qué significan la pendiente y el intercepto $y-$ en este problema?

Dia	Nº de samosas
1	30
2	34
3	36
4	36
5	40
6	43
7	45

Nitisha está tratando de medir el coeficiente de elasticidad de una pelota. Ella deja caer la pelota desde diferentes alturas y mide la altura máxima del rebote resultante. La tabla a continuación muestra sus datos. Dibuja un diagrama de dispersión y encuentra la ecuación. ¿Cuál es la altura inicial si la altura de rebote es de 65 cm? ¿Qué significan la pendiente y el intercepto $y-$ en este problema?

Altura inicial *(cm)*	Altura de rebote *(cm)*
30	22
35	26
40	29
45	34
50	38
55	40
60	45
65	50
70	52

Baris está probando el tiempo de duración de las velas “BriteGlo”. La siguiente tabla muestra cuánto tiempo toma quemar las velas de diferentes pesos. Supongamos que es una relación lineal. Luego podemos usar una recta y ajustarla a los datos. Si una vela arde por 95 horas, ¿cuál debe ser su peso en onzas?

Tiempo de duración de una vela basado en peso
Peso de la vela (onzas)	Tiempo (horas)
2	15
3	20
4	35
5	36
10	80
16	100
22	120
26	180

La tabla a continuación muestra el ingreso promedio de una familia de California de 1995 a 2002 según lo indica la Oficina de Censo de los Estados Unidos. Dibuja un diagrama de dispersión y encuentra la ecuación. ¿Cuál esperas que sea el ingreso promedio anual de una familia de California en el año 2010? ¿Qué significan la pendiente y el intercepto $y-$ en este problema?

Año	Ingreso
1995	53,807
1996	55,217
1997	55,209
1998	55,415
1999	63,100
2000	63,206
2001	63,761
2002	65,766

Revisión mixta

Sheri compró una máquina de café y pagó $119,64 incluyendo impuestos. El precio de la boleta era de $110,27. ¿Cuál fue el porcentaje de impuestos?
¿Cuáles son los medios de la fracción $\frac{4}{x}=\frac{141}{98}$ ? ¿Cuáles son los extremos?
Resuelve la proporción en la pregunta 17.
La distancia recorrida varía directamente con el tiempo viajado. Si un auto ha viajado 328,5 millas en 7,3 horas, ¿cuántas horas le tomará viajar 82,8 millas?
Evalúa $t(x)=0.85x$ cuando $x=6015$ .

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Práctica

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