Resolución de problemas con modelos lineales

En esta Sección usarás algunas de las herramientas de modelos lineales aprendidas en Secciones anteriores para resolver problemas del mundo real.

Supongamos que graficaste algunos puntos de datos, con las coordenadas $x-$ representando el número de años que un profesor ha estado enseñando en una escuela y las coordenadas $y-$ representando su salario. Supongamos que has definido la recta más adecuada como $y=1500x+28,000$ . Si el profesor ha estado enseñando en la escuela por 8 años, ¿podrías usar la recta más adecuada a los datos para predecir cuánto será su salario al haber estado enseñando por 12 años? ¿Cómo lo harías? En esta Sección aprenderás cómo responder preguntas del mundo real como ésta usando modelos lineales.

Orientación

Anteriormente trabajamos escribiendo ecuaciones y determinando las rectas que mejor se acomodan a los datos. Cuando ajustamos una recta a los datos usando interpolación, extrapolación, o regresión lineal, estamos usando modelos lineales.

Un modelo es una ecuación que mejor describe los datos graficados en el diagrama de dispersión.

Ejemplo A

Dana escuchó algo muy interesante en la escuela. Su profesor le dijo que si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro siempre obtienes el mismo número. Ella probó esta afirmación midiendo la circunferencia y el diámetro de varios objetos circulares La siguiente tabla muestra sus resultados.

A partir de estos datos, estima la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 12 pulgadas.

Solución:

Empieza por crear un diagrama de dispersión y dibujar la recta más adecuada.

Diámetro y circunferencia de varios objetos
Objeto	Diámetro (pulgadas)	Circunferencia (pulgadas)
Tabla	53	170
Lata de soda	2.25	7.1
Lata de chocolate	4.2	12.6
Plato	8	25.5
Pajilla	0.25	1.2
Tanque de propano	13.3	39.6
Hula-hula	34.25	115

Encuentra la ecuación de la recta que mejor se acomoda a los datos usando los puntos (0,25, 1,2) y (8, 25,5).

$&\text{Slope} && m = \frac{25.5 - 12}{8 - 0.25} = \frac{24.3}{7.75} = 3.14\\\&&& y = 3.14x + b\\\&&&1.2 = 3.14(0.25) + b \Rightarrow b = 0.42\\\&\text{Equation} && y = 3.14x + 0.42$

$&\text{Diameter} = 12 \ \text{inches} \Rightarrow y = 3.14 (12) + 0.42 = \underline{38.1 \ \text{inches}}$

En este problema, el $\text{slope} = 3.14$ . Este número debería serte muy familiar, es el número pi redondeado a centésimas. Teóricamente, la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro es siempre lo mismo y el igual a 3,14 o $\pi$ .

Ejemplo B

redondeado a centésimas. Teóricamente, la circunferencia de un círculo dividido por su diámetro es siempre lo mismo y el igual a 3,14 o

Solución:

La ecuación $y=3.14x+0.42$ de la relación entre diámetro y circunferencia del Ejemplo A aplica aquí.

$&\text{Diameter} = 25 \ \text{inches} \Rightarrow y = 3.14 (25) + 0.42 = \underline{78.92 \ \text{inches}}$

Un círculo con un diámetro de 25 pulgadas tendrá una circunferencia que es aproximadamente 78,92 pulgadas.

Ejemplo C

Usando los datos de Dana del Ejemplo A, estima la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 60 pulgadas.

Solución:

La ecuación $y=3.14x+0.42$ de la relación entre diámetro y circunferencia del Ejemplo A aplica aquí.

$&\text{Diameter} = 60 \ \text{inches} \Rightarrow y = 3.14 (60) + 0.42 = \underline{188.82 \ \text{inches}}$

Un círculo con un diámetro de 60 pulgadas tendrá una circunferencia que es aproximadamente 188,82 pulgadas.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica guiada

Un cilindro está lleno de agua hasta una altura de 73 centímetros. El agua es drenada a través de un agujero en el fondo del cilindro y se toman medidas en un intervalo de dos segundos. La siguiente tabla muestra la altura del nivel de agua en el cilindro en diferentes momentos.

Nivel del agua en los cilindros, en distintos segundos
Tiempo (segundos)	Nivel del Agua (cm)
0.0	73
2.0	63.9
4.0	55.5
6.0	47.2
8.0	40.0
10.0	33.4
12.0	27.4
14.0	21.9
16.0	17.1
18.0	12.9
20.0	9.4
22.0	6.3
24.0	3.9
26.0	2.0
28.0	0.7
30.0	0.1

Encuentra el nivel de agua a los 15 segundos.

Solución:

Empieza por graficar el diagrama de dispersión. Como puedes ver a continuación, una línea recta no coincide con la mayoría de los datos. Por lo tanto, no hay una recta más adecuada. En cambio, usa interpolación.

Para encontrar el valor a los 15 segundos, conecta los puntos (14, 21.9) y (16, 17.1) y encuentra la ecuación de la línea recta.

$m=\frac{17.1-21.9}{16-14}=\frac{-4.8}{2}=-2.4$

$y=-2.4x+b \Rightarrow 21.9 = -2.4(14)+b \Rightarrow b =55.5$

Ecuación $y=-2.4x+55.5$

Sustituimos $x=15$ y obtenemos $y=-2.4(15)+55.5=19.5 \ cm$ .

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Using a Linear Model (12:14)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

¿Qué es un modelo matemático?
¿Qué es modelación lineal ? ¿Cuáles son las opciones para determinar un modelo lineal?
Usando los datos del nivel de agua , usa interpolación para determinar la altura del agua a los 17 segundos.

Usa la tabla de expectativa de vida a continuación para responder las preguntas.

Haz un diagrama de dispersión de los datos.
Usa la recta que mejor se ajusta para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1955.
Usa interpolación lineal para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1955.
Usa la recta que mejor se ajusta para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1976.
Usa interpolación lineal para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 1976.
Usa la recta que mejor se ajusta para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 2012.
Usa extrapolación lineal para estimar la expectativa de vida de una persona nacida en 2012.
¿Qué método da los mejores estimados para este conjunto de datos? ¿Por qué?

Año de nacimiento	Expectativa de vida en años
1930	59.7
1940	62.9
1950	68.2
1960	69.7
1970	70.8
1980	73.7
1990	75.4
2000	77

La tabla a continuación muestra la temperatura alta para el primer día de cada mes en 2006 en San Diego, California. Usa esta tabla para responder las preguntas.

Dibuja un diagrama de dispersión de los datos.
Una recta adecuada para estimar la temperatura en el medio del mes $4^{th}$ (mes 4.5).
Usa interpolación lineal para estimar la temperatura en la mitad del mes $4^{th}$ (mes 4.5).
Usa una recta adecuada para estimar la temperatura para el mes 13 (enero 2007)
Usa extrapolación lineal para estimar la temperatura para el mes 13 (enero 2007)
¿Qué método da los mejores estimados para este conjunto de datos? ¿Por qué?

Número de mes	Temperatura $(F)$
1	63
2	66
3	61
4	64
5	71
6	78
7	88
8	78
9	81
10	75
11	68
12	69

Revisión mixta

Simplifica $6t(-2+7t)-t(4+3t)$ .
Resuelve para $y: \frac{119}{8}=\frac{-10}{3}\left (y+\frac{7}{5}\right)-\frac{5}{2}$ .
Determina el costo final. Costo original de la chaqueta: $45,00; 15% marcado; y 8% de impuesto.
Escribe como fracción: 0,096.
¿Es esta función un ejemplo de variación directa? $g(t)=-35t+15$ . Explica tu respuesta.
Los siguientes datos muestran el número de homicidas jóvenes en el colegio durante varios años (fuente: http://nces.ed.gov/programs/crimeindicators/crimeindicators2009/tables/table_01_1.asp ).
1. Grafica estos datos y conecta los puntos.
2. ¿A qué conclusiones puedes llegar con estos datos?
3. Parece haber una gran caída en el número de homicidas escolares entre 1999 y 2001. ¿Qué puede haber pasado para causar una diferencia tan grande?
4. Haz una predicción sobre el 2009 usando estos datos.

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