Análisis dimensional

En esta Sección aprenderás a convertir o cancelar dimensiones para resolver problemas del mundo real.

Imagina que vas al almacén y compras 3 galones de leche. ¿Podrías determinar cuántas pintas de leche compraste? ¿Y si hubieras comprado 16 pintas de leche? ¿Cuántos galones serían? En esta Sección aprenderás a hacer conversiones como esta para resolver problemas del mundo real.

Orientación

La información del mundo real se da en dimensiones , o las unidades en que se mide el valor. Por ejemplo, los siguientes son todos ejemplos de dimensiones.

Pulgadas
Pies
Litros
Microgramos
Acres
Horas
Libras
Estudiantes

Analizar dimensiones puede ayudarte a resolver problemas de viaje, astronomía, física, ingeniería, ciencia forense, y calidad. Resolver problemas convirtiendo dimensiones o cancelando dimensiones es el enfoque de esta Sección.

Considera la fórmula de distancia $distance=rate \ \cdot \ time$ . Esta fórmula se puede reescribir por ritmo . $rate=\frac{distance}{time}$ . Si la distancia está medida en kilómetros, y el tiempo está medido en horas, el ritmo tendría las dimensiones $\frac{kilometers}{hours}$ .

Puedes tratar las dimensiones como variables. Unidades idénticas pueden dividirse o cancelarse. Por ejemplo, $\frac{kilometers}{hour} \cdot hour \rightarrow \frac{kilometers}{\cancel{hour}} \cdot \cancel{hour} \rightarrow kilometers$ .

A veces las unidades no se dividirán. En este caso, un factor de conversión es necesario.

Ejemplo A

Convierte $\frac{35 \ kilometers}{hour}$ Ya que .

Solución:

Ya que kilómetros $\neq$ metros , necesitas convertir kilómetros en metros para obtener la respuesta. Sabes que hay 1.000 metros en un kilómetro. Por lo tanto, necesitas multiplicar la dimensión original por este factor.

$\frac{35 \ kilometers}{hour} \cdot \frac{1000 \ meters}{1 \ kilometer} \rightarrow \frac{35 \ \cancel{kilometers}}{{hour}} \cdot \frac{1000 \ meters}{1 \ \cancel{kilometer}} & = \frac{35(1000)meters}{hour}.\\\\frac{35\ kilometers}{hour}& =\frac{35,000 \ meters}{hour}$

El proceso de usar unidades o dimensiones para ayudar a resolver problemas se llama análisis dimensional . Es muy útil en química y en viajes, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo B

¿Cuántos segundos hay en un mes?

Solución: La situación se puede resolver fácilmente usando multiplicación. Sin embargo, el proceso que usas al multiplicar los valores juntos es un ejemplo de análisis dimensional.

Empieza por lo que sabes:

60 segundos es un minuto
60 minutos es una hora
24 horas es un día
Aproximadamente 30 días es un mes

Ahora escribe la expresión para convertir segundos en minutos en meses.

$\frac{60 \ seconds}{1 \ minute} \cdot \frac{60 \ minutes}{1 \ hour} \cdot \frac{24 \ hours}{1 \ day} \cdot \frac{30 \ days}{1 \ month}$

Las unidades idénticas se cancelan.

$\frac{60 \ seconds}{1 \ \cancel{minute}} \cdot \frac{60 \ \cancel{minutes}}{1 \ \cancel{hour}} \cdot \frac{24 \ \cancel{hours}}{1 \ \cancel{day}} \cdot \frac{30 \ \cancel{days}}{1 \ month}$

Multiplica las fracciones juntas.

$\frac{60 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 30 \ seconds}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \ month}=2,592,000\frac{seconds}{month}$

Ejemplo C

¿Cuántos gramos hay en 5 libras?

Solución: Empieza por escribir todas las conversiones que conoces relacionadas a esta situación.

$1 \ gram & \approx 0.0353 \ ounces\\\16 \ ounces & = 1 \ pound$

Escribe tu análisis dimensional.

$5 \ pounds \cdot \frac{16 \ ounces}{1 \ pound} \cdot \frac{1 \ gram}{0.0353 \ ounce}$

Cancela las unidades idénticas y multiplica.

$5 \ \cancel{pounds} \cdot \frac{16 \ \cancel{ounces}}{1 \ \cancel{pound}} \cdot \frac{1 \ gram}{0.0353 \ \cancel{ounce}}=2226.29 \ grams$

Se puede encontrar una larga lista de factores de conversión en este sitio .

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica guiada

Estás viajando por Europa y quieres saber qué tan rápido conducir para maximizar la eficiencia del combustible. La velocidad óptima de conducción para la eficiencia del combustible es 55 millas por hora. ¿Qué tan rápido sería eso en kilómetros por hora?

Solución:

Ya que 1 milla es aproximadamente 1,6 kilómetros:

$\frac{55\ miles}{hour}\cdot \frac{1.6\ kilometers}{1\ mile} \rightarrow \frac{55\ \cancel{miles}}{hour}\cdot \frac{1.6\ kilometers}{1\ \cancel{mile}}\rightarrow \frac{88\ kilometers}{hour}$

La velocidad óptima para la eficiencia del combustible es 88 kilómetros por hora.

Práctica

¿Verdadero o falso? El análisis dimensional es el estudio del espacio y tiempo.
Al usar análisis dimensional, ¿qué pasa con las unidades idénticas que aparecen diagonalmente en la multiplicación de fracciones?
¿Cuántos pies hay en una milla?
¿Cuántas pulgadas hay en una milla?
¿Cuántos segundos hay en un día?
¿Cuántos segundos hay en un año?
¿Cuántos pies hay en un furlong ?
¿Cuántas pulgadas hay en 100 yardas (un campo de fútbol)?
¿Cuántos centímetros hay en 5 pulgadas?
¿Cuántos metros hay entre la primera y segunda base (90 pies)?
¿Cuántos metros hay en 16 yardas?
¿Cuántas copas hay en 6 litros?
¿Cuántas pulgadas cúbicas hacen una onza?
¿Cuántos mililitros hacen 8 onzas?
¿Cuántos gramos hay en 100 libras?
Una pastilla para la alergia contiene 25 mg de difenidramina. Si $1 \ gram=15.432 \ grains$ , ¿cuántos granos de este medicamento hay en la pastilla para la alergia?
Un corazón saludable late 68 veces por minuto. ¿Cuántas veces late por hora?
Tú vives a 6,2 millas del almacén más cercano. ¿Cuántos fathoms es? ( $6 \ feet=1 \ fathom$ )
El costo de la gasolina en Inglaterra es 96,4 libras esterlinas/litro . ¿Cuánto es esto en dólares norteamericanos/galón ? ( $3.875\ litres=1 \ gallon$ y $1.47\ US\$=1\ pound\ sterling$ )
La luz viaja a $\frac{186,000 \ miles}{second}$ . ¿Qué tan largo es un año luz?
Otra manera de describir años luz es en unidades astronómicas . Si 1 $light \ year=63,240 \ AU$ (unidades astronómicas) , ¿qué tan lejos en UA está Alfa Centauri, que está a 4,32 años luz de la Tierra?
¿Cuántos pies cuadrados es 16 ares?
Una persona pesa 264 libras. ¿Cuántos kilogramos es eso?
Un auto está viajando a 65 millas/hora y cruza a Canadá. ¿Cuánto es esta velocidad en km/hr ?
Una gran taza de gaseosa contiene 32 onzas. ¿Cuál es su capacidad en pulgadas cúbicas?
Un transbordador espacial viaja a 28.000 mph. ¿Cuál es la distancia en pies/segundo ?
¿Cuántas horas hay en una quincena (dos semanas)?
¿Cuántas quincenas (periodos de dos semanas) hay en dos años?
Un camión semirremolque pesa 32.000 libras estando vacío. ¿Cuánto pesa en toneladas?
¿Qué tiene el mayor volumen: una botella de 2 litros de gaseosa, un galón de agua, o 10 pintas de sangre humana?

Revisión mixta

Resuelve para $x: -2x+8=8(1-4x)$ .
Simplifica: $3-2(5-8h)+13h \cdot 3$ .
Encuentra la diferencia: $-26.375-\left (-14 \frac{1}{8}\right )$ .
Encuentra el producto: $-2\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{10}$ .
Simplifica: $\sqrt{80}$ .
¿Es $5.\bar{5}$ un número irracional? Explica tu respuesta.

Usa la relación dada para las siguientes preguntas: $\left \{(0,8),(1,4),(2,2),(3,1),\left(4,\frac{1}{2}\right ),\left (5,\frac{1}{4}\right )\right \}$ .

Indica el dominio.
Indica el rango.
¿Es esta relación una función? Explica tu respuesta.
¿Cuál parece ser el patrón en esta relación?