Expresiones de inecuaciones

Aquí aprenderás cómo expresar inecuaciones en varias formas y cómo graficar inecuaciones en una recta numérica.

Supongamos que estás organizando una fiesta y que sabes que el número de personas que asistirá es igual o mayor a 25. ¿Cómo escribirías esta inecuación? Si tuvieras que graficar las soluciones a esta inecuación en una recta mumérica, ¿podrías hacerlo? Después de haber completado esta Sección, no sólo serás capaz de expresar inecuaciones como esta en un gráfico, sino que también serás capaz de mirar un gráfico y determinar qué inecuación representa.

Orientación

Las expresiones que indican inecuación son:

$>$ “mayor a”

$\ge$ “mayor o igual a”

$<$ “menor a”

$\le$ “menor o igual a”

$\neq$ “distinto a”

Definición: Unainecuación algebraicaes una oración matemática que conecta una expresión a un valor, una variable, u otra expresión con un signo de desigualdad.

Las soluciones a una inecuación con una variable pueden ser graficadas en una recta numérica o en un plano cartesiano.

Ejemplo A

Grafica las soluciones a $t > 3$ en una recta numérica.

Solución: La inecuación está pidiendo todos los números reales mayores a 3.

También puedes escribir inecuaciones dada una recta numérica de soluciones.

Ejemplo B

Escribe la inecuación mostrada a continuación.

Solución: El valor de 4 está coloreado, lo que significa que cuatro es una solución para la inecuación. La flecha roja indica valores menores a cuatro. Por lo tanto, la inecuación es:

$x \le 4$

Inecuaciones que “incluyen” el valor son $\le$ o $\ge$ . La línea debajo de la inecuación significa “o igual a.” Mostramos esta relación coloreando el círculo sobre este valor en la recta numérica, como en el ejemplo anterior. Para inecuaciones sin el “o igual a,” el círculo sobre el valor en la recta numérica queda sin color.

Cuatro maneras de expresar soluciones a inecuaciones

1. Notación de inecuación: La respuesta se expresa como una inecuación algebraica, como por ejemplo $d \le \frac{1}{2}$ .
2. Notación de conjunto: La inecuación se escribe usando paréntesis de notación de conjunto { }. Por Ejemplo, $\left \{ d | d \le \frac{1}{2} \right \}$ se lee, “el conjunto de todos los valores de $d$ , tal que $d$ es un número real menor o igual a un medio.”
3. Notación en intervalos: Esta notación usa paréntesis para denotar el rango de valores de una inecuación.
1. a. Los paréntesis cuadrados o “cerrados” [ ] indican que el número está incluido en la solución
2. b. Los paréntesis redondos o “abiertos” ( ) indican que el número no esta incluido en la solución.

La notación en intervalos también usa el concepto de infinito $\infty$ e infinito negativo $- \infty$ . Por ejemplo, para todos los valores de $d$ que son menores o iguales a $\frac{1}{2}$ , podrías usar la notación de conjunto como sigue: $\left . \left (-\infty, \frac{1}{2}\right ] \right .$ .

4. Como una oración graficada en una recta numérica.

Ejemplo C

Describe el conjunto de números contenido por el conjunto dado para los siguientes ejemplos:

a) (8, 24)

b) [3, 12)

Solución:

(8, 24) indica que la solución es todos los números entre 8 y 24 pero no incluye los números 8 y 24.

(3, 12) indica que la solución es todos los números entre 3 y 12, incluyendo el 3 pero sin incluir 12.

Revisión en video

(Solo ingles)

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Práctica guiada

Describe y grafica el conjunto de soluciones expresadas por $(\infty, 3.25)$ .

Solución:

El conjunto solución contiene todos los números menores a 3,25, sin incluir 3,25.

El gráfico en la recta numérica es:

Práctica

¿Cuáles son los cuatro métodos para escribir la solución a una inecuación?

Grafica la solución de las siguientes inecuaciones en una recta numérica.

$x < -3$
$x \ge 6$
$x > 0$
$x \le 8$
$x < -35$
$x > -17$
$x \ge 20$
$x \le 3$

Escribe una inecuación que represente cada gráfico.