Inecuaciones con multiplicación y división

Aquí aprenderás a usar multiplicación y división para encontrar las soluciones para inecuaciones de un paso.

Imagina que la distancia en millas hasta un gimnasio desde tu casa es $\frac {1}{5}$ de la distancia a una pista de patinaje. La distancia a la pista de patinaje está representada por $r$ , y sabes que la distancia hasta el gimnasio es igual o menor a 6 millas desde tu casa. ¿Qué tan lejos de tu casa está la pista de patinaje? Luego de haber completado esta Sección serás capaz de resolver inecuaciones como la que representa este escenario usando multiplicación y división.

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Enlace multimedia: Para obtener ayuda al resolver inecuaciones con multiplicación y división visita la página web de Khan Academy: http://khanexercises.appspot.com/video?v=PNXozoJWsWc .

Orientación

Las ecuaciones son frases matemáticas en las cuales los dos lados tienen el mismo “peso.” Al sumar, restar, multiplicar, o dividir el mismo valor en los dos lados de la ecuación, el balance se mantiene. Sin embargo, las inecuaciones comienzan estando desbalanceadas. Cuando realizas operaciones inversas la inecuación se mantendrá fuera de balance. Esto es cierto con inecuaciones que involucran tanto multiplicación como división.

Antes de que podamos empezar a resolver inecuaciones que involucran multiplicación o división, necesitas saber dos propiedades: la propiedad de multiplicación de las inecuaciones y la propiedad de la división de inecuaciones.

Propiedad de la multiplicación de inecuaciones: Para todos los números reales positivos $a, \ b,$ y $c$ :

Si $x < a$ , entonces $x(c)< a(c).$

Si $x > a$ , entonces $x(c) > a(c).$

Propiedad de la división de inecuaciones: Para todos los números reales positivos $a, \ b,$ y $c$ :

Si $x < a$ , entonces $x \div (c) < a \div (c).$

Si $x > a$ , entonces $x \div (c) > a \div (c).$

Ejemplo A

Considera la inecuación $2x \ge 12$ . Para encontrar las soluciones de esta inecuación debemos aislar la variable $x$ usando la operación inversa de “multiplicar por 2,” lo cual es dividir por 2.

$2x & \ge 12\\\\frac{2x}{2} & \ge \frac{12}{2}\\\x & \ge 6$

Esta solución se puede expresar en cuatro maneras. Una manera ya está escrita: $x \ge 6$ . A continuación están las tres maneras restantes para expresar esta solución:

$\left \{ x | x \ge 6 \right \}$
$[6, \infty)$
Usando una recta numérica:

Ejemplo B

Resuelve para $y: \frac{y}{5} \le 3$ . Expresa la solución usando todos los cuatro métodos.

Solución: La inecuación anterior se lee , “ $y$ dividido por 5 es menor o igual a 3.” Para aislar la variable $y$ , debes cancelar la división usando la operación inversa, multiplicación.

$\frac{y}{5} \cdot \frac{5}{1} & \le 3 \cdot \frac{5}{1}\\\y & \le 15$

Un método de escribir la solución es $y \le 15.$

Los otros tres son:

$(-\infty ,15]$
$\left \{ y | y \le 15 \right \}$

Cómo multiplicar y dividir una inecuación por un número negativo

Nótese que las dos propiedades de esta Sección se centran solamente en valores positivos de $c$ Esto es porque esas propiedades particulares de la multiplicación y división no aplican cuando el número a multiplicar (o dividir) es negativo.

Piénsalo de esta manera. Cuando multiplicas un valor por –1, el número que obtienes es el negativo del original.

$6(-1)=-6$

Multiplicar cada lado de una oración por –1 resulta en el opuesto de ambos valores.

$5x(-1)&=4(-1)\\\-5x&=-4$

Cuando multiplicamos por un número negativo estamos haciendo lo “opuesto” de todo en la oración, incluyendo el signo.

$x&>4\\\x(-1)&>4(-1)\\\-x&<-4$

Este concepto se resume a continuación.

Regla de la multiplicación y división de inecuaciones: Para cualquier número real $a$ , cualquier número negativo $c$ ,

Si $x<a$ , entonces $x \cdot c > a \cdot c$

Si $x<a$ , entonces $\frac{x}{c} > \frac{a}{c}$

Al igual que con las otras propiedades de las inecuaciones, estas también son ciertas para $\le$ o $\ge$ .

Ejemplo C

Resuelve para $r: -3r < 9$ .

Solución: Para aislar la variable $r$ , debemos cancelar el “multiplicar por –3” usando su operación inversa, dividir por –3.

$\frac{-3r}{-3} < \frac{9}{-3}$

Ya que estamos dividiendo por –3, todo se convierte en lo opuesto, incluyendo el signo de inecuación.

$r > -3$

Ejemplo D

Resuelve para $p: 12p < -30$ .

Solution: Para aislar la variable $p$ , debemos cancelar “multiplicar por 12” usando su operación inversa, dividir por 12.

$\frac{12p}{12} < \frac{-30}{12}$

Ya que 12 no es negativo, no cambias el signo de inecuación.

$p < \frac{-5}{2}$ .

En notación de conjunto, la solución sería: $\left ( -\infty, \frac{-5}{2} \right )$ .

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica guiada

Resuelve para $m: -\frac{m}{3} < 2.4$ .

Solución:

Para aislar la variable $m$ , debemos cancelar “dividir por 3” usando su operación inversa, multiplicar por 3. También debemos cancelar el negativo, por lo que multiplicamos por -1 Multiplicar por 3 y -1 significa multiplicar por -3.

$-3 \cdot -\frac{m}{3} < -3 \cdot 2.4$

Ya que -3 es negativo, necesitas cambiar el signo de inecuación.

$m > -7.2$ .

En notación de conjunto, la solución sería: $\left ( -7.2, \infty \right )$ .

Esto significa que $m$ debe ser mayor pero no igual a -7,2.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Álgebra básica: Inecuaciones que usan multiplicación y división (10:27)