Inecuaciones de múltiples pasos

Aquí aprenderás cómo las propiedades distributivas y de adición, sustracción, multiplicación, y división pueden ayudarte a encontrar la solución a inecuaciones de múltiples pasos.

Supongamos que sabes que 10 menos 3 veces el número de monedas en tu alcancía es mayor a 200. Si el número de monedas en tu alcancía está representado por $c$ , ¿cómo encontrarías el valor de esta variable? En esta Sección aprenderás cómo resolver inecuaciones de múltiples pasos tales como la que representa este escenario usando las propiedades distributivas y de adición, sustracción, multiplicación, y división.

Orientación

Anteriormente trabajamos en inecuaciones de un paso. Las inecuaciones, tal como las ecuaciones, pueden requerir varios pasos para aislar la variable. Estas inecuaciones son denominadas inecuaciones de pasos múltiples. Con excepción de la propiedad de división y multiplicación de inecuaciones, el proceso de resolver inecuaciones de pasos múltiples es idéntico a resolver ecuaciones de múltiples pasos.

Procedimiento para resolver una inecuación:

Sacar los paréntesis usando la propiedad distributiva .
Simplificar cada lado de la inecuación combinando términos similares.
Aislar el término $ax$ Usa la propiedad de adición y sustracción de las inecuaciones para llevar la variable a un lado del signo de inecuación y los valores numéricos al otro lado.
Aísla la variable. Usa la propiedad de multiplicación y división de inecuaciones para dejar la variable sola a un lado de la inecuación.
1. Recuerda revertir el signo de inecuación si estás multiplicando o dividiendo por un número negativo.
Revisa tu solución.

Ejemplo A

Resuelve para $w: \ 6x-5<10$ .

Solución: Empieza por usar la lista de comprobación anterior.

1. ¿Paréntesis? No

2. ¿Términos similares en el mismo lado de la inecuación? No

3. Aísla el término $ax$ usando la propiedad de la adición.

$6x-5+5<10+5$

Simplifica.

$6x<15$

4. Aísla la variable usando la propiedad de la multiplicación o división.

$\frac{6x}{6} < \frac{15}{6} = x < \frac{5}{2}$

5. Revisa tu solución. Elige un número menor a 2,5, digamos 0, y revisa el resultado usando la inecuación original.

$6(0)-5 &< 10?\\-5 & < 10$

Sí, la respuesta está correcta. $x < 2.5$

Ejemplo B

Resuelve para $x: \ -9x<-5x-15$ .

Solución: Empieza por usar la lista de comprobación anterior.

1. ¿Paréntesis? No

2. ¿Términos similares en el mismo lado de la inecuación? No

3. Aísla el término $ax$ usando la propiedad de la adición.

$-9x+5x<-5x+5x-15$

Simplifica.

$-4x<-15$

4. Aísla la variable usando la propiedad de la multiplicación o división.

$\frac{-4x}{-4} < \frac{-15}{-4}$

Ya que el número por el que estás dividiendo es negativo, debes revertir el signo de inecuación.

$x>\frac{15}{4} \rightarrow x > 3 \frac{3}{4}$

5. Revisa tu solución eligiendo un número mayor a 3,75, como el 10.

$-9(10)& <-5(10)-15?\\\checkmark \ -90 & <-65$

Cómo identificar el número de soluciones para una inecuación

Las inecuaciones pueden tener un número infinito de soluciones, ninguna solución o un conjunto finito de soluciones. La mayoría de las inecuaciones que has resuelto hasta ahora tienen un número infinito de soluciones. Al resolver inecuaciones y usar el contexto de un problema puedes determinar el número de soluciones que puede tener una inecuación.

Ejemplo C

Encuentra las soluciones a $x-5>x+6$ .

Solución: Empieza por aislar la variable usando la propiedad de adición de inecuaciones.

$x-x-5>x-x+6$

Simplifica.

$-5>6$

Esta es una inecuación falsa. Cinco negativo nunca es mayor a seis. Por lo tanto, la inecuación $x-5>x+6$ no tiene soluciones.

Ejemplo D

Anteriormente vimos la siguiente oración: “El límite de velocidad es 65 millas por hora.” Usa inecuaciones y notación de conjunto para describir el conjunto de velocidades posibles a las cuales un automóvil puede exceder el límite de velocidad.

Solución:

La velocidad a la cual manejas no puede ser negativa, lo que significa que $0\le s$ , y debe ser menos de 65 millas por hora, entonces $s \le 65.$ . Combinando esto obtenemos $0\le s \le 65$ . Por lo tanto, el conjunto de posibilidades usando notación de intervalos es [0, 65].

Este conjunto solución tiene soluciones infinitas, ya que hay una cantidad infinita de números entre 0 y 65.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Resuelve para $x: \ 4x-2(3x-9) \le -4(2x-9)$ .

Solución: Empieza por usar la lista de comprobación.

1. ¿Paréntesis? Sí. Usa la propiedad distributiva para despejar el paréntesis.

$4x+(-2)(3x)+(-2)(-9)\le-4(2x)+(-4)(-9)$

Simplifica.

$4x-6x+18 \le -8x+36$

2.¿Términos similares en el mismo lado de la inecuación? Sí. Combínalos.

$-2x+18\le-8x+36$

3. Aísla el término $ax$ usando la propiedad de la adición.

$-2x+8x+18\le-8x+8x+36$

Simplifica.

$6x+18 & \le36\\6x+18-18 & \le36-18\\6x & \le18$

4. Aísla la variable usando la propiedad de la multiplicación o división.

$\frac{6x}{6} \le \frac{18}{6} \rightarrow x \le 3$

5. Revisa tu solución eligiendo un número menor a 3, como el –5.

$4(-5)-2(3 \cdot -5-9) & \le -4(2 \cdot -5-9)\\\checkmark \ 28 & <76$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Álgebra básica: Inecuaciones de múltiples pasos (8:02)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

En 1–15, resuelve cada una de las inecuaciones y grafica el conjunto solución.

$6x-5 < 10$
$-9x < -5x-15$
$-\frac{9x}{5} \le 24$
$\frac{9x}{5}-7 \ge -3x+12$
$\frac{5x-1}{4} > -2 (x+5)$
$4x+3 < -1$
$2x < 7x - 36$
$5x >8x + 27$
$5 - x < 9 + x$
$4-6x \le 2(2x+3)$
$5(4x+3)\ge 9(x-2)-x$
$2(2x-1)+3 < 5(x+3)-2x$
$8x-5(4x+1) \ge -1+2(4x-3)$
$2(7x-2)-3(x+2)< 4x-(3x+4)$
$\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}(4x-1) \ge x+2(x-3)$

Revisión mixta

Resuelve: $10 \ge -5f.$
Grafica $y=-7$ en un plano cartesiano.
Clasifica $\sqrt{5}$ usando la jerarquía de números reales.
¿Cuáles son algunos métodos de resolución de problemas que has aprendido hasta ahora en este libro? Lista un ejemplo para cada método.
Un círculo tiene un área de $A=\pi r^2$ . ¿Cuál es el radio de un círculo con un área de $196\pi \ in^2$ ?
Resuelve para $a: \frac{6}{a}=\frac{-22}{a+4}.$

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