Inecuaciones compuestas

Aquí aprenderás cómo encontrar la solución para una inecuación compuesta y a graficarla, así como también a usar una calculadora gráfica para resolver la inecuación.

Piensa qué pasaría si pasaras 2 horas más haciendo tu tarea esta semana que la semana pasada. Si el número de horas que tardaste la semana pasada está representado por $h$ , y tardaste entre 6 y 8 horas esta semana, ¿cuántas horas pasaste haciendo tu tarea la semana pasada? En esta Sección aprenderás cómo resolver inecuaciones como la que representa este escenario y cómo graficar la solución. También aprenderás cómo usar una calculadora gráfica para encontrar la solución.

Orientación

Las inecuaciones que se refieren a la misma situación pueden ser escritas como una inecuación compuesta . Una inecuación compuesta involucra las palabras conectoras “y” y “o.”

La palabra y en matemáticas significa la intersección entre conjuntos.

“Lo que los conjuntos tienen en común.”

La palabra o en matemáticas significa la unión de los conjuntos.

“Combinar ambos conjuntos en un conjunto más grande.”

Inecuaciones que involucran “Y”

Considera, por ejemplo, la situación del límite de velocidad de la Sección anterior. Si usamos notación de intervalos la solución a esta situación puede ser escrita como [0, 65]. Como una inecuación, lo que se está diciendo es:

La velocidad debe ser a lo menos 0 millas por hora y a lo más 65 millas por hora.

Al usar inecuaciones para representar “a lo menos” y “a lo más,” se escriben las siguientes oraciones:

$s \ge 0 \ \text{and} \ s \le 65$

Este es un ejemplo de inecuación compuesta. Se puede acortar escribiendo:

$0 \le s \le 65$

Ejemplo A

Grafica las soluciones para $-40 \le y < 60$ .

Solución: Colorea un círculo sobre el –40 para representar “menor o igual a.” . Dibuja un círculo sin relleno sobre el 60. La variable se coloca entre estos dos valores, por lo que las soluciones ocurren entre estos dos números.

Inecuaciones que involucran “O”

Un restaurant ofrece descuentos a niños de 3 años o menores y a adultos mayores de 65 años. Escribe una inecuación para las edades posibles que pueden recibir el descuento.

Empieza por escribir una inecuación para representar cada parte. “3 años o menor” significa que debes haber nacido pero no haber celebrado tu cuarto cumpleaños.

$0 \le a < 4$

“Adultos de más de 65 años” implica $a > 65$ .

La palabra O entre las frases te permite graficar todas las posibilidades en una recta numérica.

Cómo resolver inecuaciones compuestas con “Y”

Cuando resolvemos inecuaciones compuestas separamos las inecuaciones y resolvemos cada una separadamente. Luego, combinamos las soluciones al final.

Ejemplo B

Resuelve para $x$ y grafica tu solución: $3x-5 < x + 9 \le 5x + 13$ .

Solución:

Para resolver $3x-5 < x + 9 \le 5x + 13$ ,empieza por separar las inecuaciones.

$3x-5 & < x+9 &&&& \ x+9 \le 5x+13\\\2x & < 14 && \text{and} && \quad -4 \le 4x\\\x & < 7 && && \quad -1 \le x \ \text{or } x\ge -1$

Las respuestas son $x<7$ y $x \ge -1$ y se pueden escribir como $-1 \le x < 7$ . Grafica las soluciones que satisfacen ambas inecuaciones.

Cómo resolver inecuaciones compuestas con “O”

Para resolver una inecuación compuesta con “O” cseparamos las inecuaciones individuales. Resolvemos cada una separadamente. Luego combinamos las soluciones para finalizar el problema.

Ejemplo C

Resuelve para $x$ y grafica la solución: $9-2x \le 3$ o $3x+10 \le 6-x$ .

Solución:

Para resolver $9-2x \le 3$ o $3x+10 \le 6-x$ , empieza por separar las inecuaciones.

$9-2x & \le 3 &&&& 3x+10 \le 6-x\\\-2x & \le -6 && \text{or} && \ \qquad 4x \le -4\\\x & \ge 3 &&&& \qquad \ \ x \le -1$

Las respuestas son $x \ge 3$ o $x \le -1$ .

Cómo usar una calculadora gráfica para resolver inecuaciones compuestas

Como has visto en secciones anteriores, las calculadoras gráficas se pueden usar para resolver muchas oraciones algebraicas complejas.

Ejemplo D

Resuelve $7x-2 < 10x+1 < 9x+5$ usando una calculadora gráfica.

Solución:

Esta es una inecuación compuesta: $7x-2 < 10x+1$ y $10x+1 < 9x+5.$

Para ingresar una inecuación compuesta:

Presiona el botón [Y=] .

Puedes encontrar los símbolos de inecuación presionando [TEST] [2nd] [MATH]

Ingresa la inecuación como:

$Y_1 = (7x-2 < 10x+1) \ AND \ (10x+1 < 9x+5)$

Para ingresar el símbolo [AND] presiona [TEST] . Selecciona [LOGIC] en la fila superior y luego selecciona la opción 1.

El gráfico resultante se muestra a continuación.

Las soluciones son los valores de $x$ para los cuales $y=1$ .

En este caso, $-1 < x < 4$ .

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Grafica el conjunto de solución para $-1+b>4$ o $2b+7\le11$ .

Solución:

Empieza por resolver $b$ para cada inecuación.

$\text{Start with the inequalities.} && -1+b&>4 && 2b+7 \le 11\\\\text{Simplify by adding opposites.} && b&>5 && 2b\le 4\\\\text{Divide if necessary.} && & && b\le 2$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Álgebra básica: Inecuaciones compuestas (11:45)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Describe el conjunto solución para una inecuación compuesta unida por la palabra “y.”
¿Cómo responderías a la pregunta #1 si la palabra conectora fuese “o.”?
Escribe el proceso usado para resolver una inecuación compuesta.

Escribe las inecuaciones compuestas representadas por los siguientes gráficos.

Grafica cada inecuación compuesta en una recta numérica.

$-4 \le x \le 6$
$x < 0$ o $x > 2$
$x \ge -8$ o $x \le -20$
$-15 < x \le 85$

En 15–30, resuelve las siguientes inecuaciones compuestas y grafica la solución en una recta numérica.

$-5 \le x-4 \le 13$
$-2 < 4x -5 \le 11$
$\frac{x-2}{6} \le 2x-4$ o $\frac{x-2}{6} > x+5$
$1 \le 3x+4 \le 4$
$-12 \le 2 - 5x \le 7$
$\frac{3}{4} \le 2x+9 \le \frac{3}{2}$
$-2 < \frac{2x-1}{3} < -1$
$5x+2(x-3)\ge 2$
$3x+2 \le 10$ o $3x+2 \ge 15$
$4x-1 \ge 7$ o $\frac{9x}{2} < 3$
$3-x < -4$ o $3-x > 10$
$\frac{2x+3}{4} < 2$ o $-\frac{x}{5}+3\frac{2}{5}$
$2x - 7 \le -3$ o $2x - 3 > 11$
$-6d>48$ o $10+d>11$
$6+b<8$ o $b+6 \ge 6$
$4x+3 \le 9$ o $-5x+4 \le -12$

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