Aplicaciones con inecuaciones

Aquí aprenderás cómo usar inecuaciones para resolver problemas del mundo real.

Supongamos que el presupuesto de una empresa requiere que se gaste al menos $20.000 pero no más de $30.000 en capacitación para sus empleados. El costo de la capacitación es la combinación de una tarifa fija de $5.000 más $500 por empleado. Si la empresa tiene $m$ empleados, ¿cuánto se tiene que gastar por empleado? En esta Sección aprenderás cómo resolver problemas del mundo real tales como este usando inecuaciones.

Orientación

Las inecuaciones son útiles para resolver problemas del mundo real. En esta Sección verás algunos ejemplos de cómo plantear y resolver problemas del mundo real.

Ejemplo A

Para conseguir un bono este mes, León debe vender al menos 120 suscripciones de periódico. Él vendió 85 suscripciones en las primeras tres semanas del mes. ¿Cuántas suscripciones debe vender León en la última semana del mes?

Solución: El número de suscripciones que necesita León es “al menos” 120. Elige una variable como $n$ , para representar la cantidad variable, el número de suscripciones. La inecuación que representa esta situación es $n+85 \ge 120$ .

Resuelve aislando la variable $n$ : $n \ge 35$ .

León debe vender 35 o más suscripciones para recibir su bono..

Ejemplo B

El ancho de un rectángulo es 12 pulgadas. ¿Cuál debe ser el largo si el perímetro es al menos 180 pulgadas? (Nota: El diagrama no está dibujado a escala.)

Solución: El perímetro es la suma de todos los lados.

$12+12+x+x \ge 180$

Simplifica y resuelve para la variable $x$ :

$12+12+x+x & \ge 180 \rightarrow 24+2x \ge 180\\\2x & \ge 156\\\x & \ge 78$

El largo del rectángulo debe ser 78 pulgadas o más.

Ejemplo C

La velocidad de una bola de golf en el aire está dada por la fórmula $v=-32t+80$ , donde $t$ es el tiempo desde que la bola fue golpeada. ¿Cuándo está la bola viajando entre 20 y 30 pies por segundo?

Solución: Queremos encontrar los tiempos en los que la bola está viajando entre 20 y 30 pies por segundo. Empieza por escribir una inecuación para representar los valores desconocidos, $20 \le v \le 30$ .

Reemplaza la fórmula de velocidad, $v=-32t+80$ , con los valores mínimos y máximos.

$20 \le -32t + 80 \le 30$

Separa la inecuación compuesta y resuelve cada inecuación por separado.

$20 & \le -32t + 80 &&&& -32t + 80 \le 30\\\32t & \le 60 && \text{and} && \qquad \qquad 50 \le 32t\\\t & \le 1.875 &&&& \qquad \quad \ 1.56 \le t$

$1.56 \le t \le 1.875$ Entre 1,56 y 1,875 segundos, la bola está viajando entre 20 y 30 pies por segundo.

Las inecuaciones también se pueden combinar con análisis dimensional.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica guiada

La camioneta de William recorre entre 18 y 22 millas por galón de gasolina. Su estanque de gasolina tiene una capacidad de 15 galones. Si conduce a una velocidad promedio de 40 millas por hora, ¿cuánto tiempo puede conducir con el estanque lleno de gasolina?

Solución: Usa el análisis dimensional para ir de tiempo por estanque a millas por galón.

$\frac{t \ \cancel{hour}}{1 \ \cancel{tank}} \times \frac{1 \ \cancel{tank}}{15 \ gallons} \times \frac{40 \ miles}{1 \ \cancel{hour}} = \frac{40}{45} \frac{miles}{gallon}$

Ya que la camioneta obtiene entre 18 y 22 millas por galón, puedes escribir una inecuación compuesta.

$18 \le \frac{40t}{15} \le 22$

Separa la inecuación compuesta y resuelve cada inecuación por separado.

$18 & \le \frac{40t}{15} &&&& \frac{40t}{15} \le 22\\\270 & \le 40t && \text{and} && \ 40t \le 330\\\6.75 & \le t &&&& \quad \ t \le 8.25$

William puede conducir entre 6,75 y 8,25 horas con el estanque lleno.

Práctica

Para los problemas 1-5, escribe la inecuación dada en la afirmación. Elige una letra apropiada para describir la cantidad desconocida.

Debes medir al menos 48 pulgadas para subirte a la montaña rusa “Thunderbolt” .
Debes ser menor de 3 años para entrar gratis al zoológico de San Diego.
Charlie necesita más de $1.800 para comprar un automóvil.
Cheryl no tiene más de seis mascotas en su casa.
El refugio no puede albergar más de 16 conejos.

El ancho de un rectángulo es 16 pulgadas. Su área es mayor a 180 pulgadas cuadradas.
1. Escribe una inecuación para representar esta situación.
2. Grafica los posibles largos del rectángulo.
Noventa por ciento de un número es a lo más 45.
1. Escribe una inecuación para representar esta situación.
2. Escribe la solución como una oración algebraica.
Doblar la receta de mermelada de Martha produce al menos 22 pintas.
1. Escribe una inecuación para representar esta situación.
2. Escribe la solución usando notación de intervalo.

Para los problemas 9-15, escribe la inecuación y úsala para resolver el problema.

En el zoológico de San Diego puedes pagar $22,75 por la entrada o $71 por el pase anual, que te da derecho a acceso ilimitado. Como máximo, ¿cuántas veces puedes entrar al zoológico pagando $22,75 por entrar antes de gastar más de lo que cuesta la membresía anual?
Los puntajes de Proteek para cuatro pruebas fueron 82, 95, 86 y 88. ¿Qué puntaje debe obtener en su última prueba para promediar al menos 90 en el semestre?
Raúl está comprando corbatas y quiere gastar $200 o menos en su compra. Las corbatas que más le gustan valen $50. ¿Cuántas corbatas puede comprar?
La tropa de exploradores de Virena espera conseguir $650 esta primavera. ¿Cuántas cajas de galletas deben vender a $4,50 por caja para alcanzar su meta?
Usando el ejemplo de la bola de golf, encuentra los tiempos en que la velocidad de la bola está entre 50 pies/seg y 60 pies/seg.
Usando el ejemplo de la camioneta, supongamos que la camioneta de William tiene un filtro de aire sucio, lo que causa que el consumo de gasolina sea de entre 16 y 18 millas por galón. ¿Cuántas horas puede William conducir con un estanque lleno según esta información?
Para conseguir una B en su clase de álgebra Stacey debe tener una nota promedio mayor o menor 80 y menor a 90. Consiguió las notas 92, 78 y 85 en sus primeras tres pruebas. ¿Entre qué puntajes debe caer su nota en la última prueba si quiere recibir una B en su clase?

Revisión mixta

Resuelve la inecuación y escribe su solución en notación de intervalo: $\frac{x+3}{2}<-4$ .
Grafica $2x-2y=6$ usando sus interceptos.
Identifica la pendiente y el intercepto $y-$ de $y+1=\frac{2}{5}(x-5)$ .
Una vara de medir proyecta una sombra de un pie de largo. ¿Cuál es el largo de la sombra de un árbol de 16 pies de alto?
George arrienda videos en una empresa de arriendo por correo. Puede conseguir 16 películas cada mes por $16,99. Sheri arrienda videos por otro servicio. Ella paga $1,99 por película. ¿Cuándo pagará George menos que Sheri?
Evalúa: $-2\frac{1}{5} \div 1\frac{3}{4}$ .
Encuentra una recta paralela a $y=5x-2$ que contenga los puntos (1, 1).

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