Valor absoluto

Aquí revisarás el significado del valor absoluto y aprenderás cómo encontrar la distancia entre dos números en una recta numérica.

Imagina que dos personas están paradas espalda contra espalda y luego caminan en direcciones opuestas. La primera persona caminó 2 millas y la segunda caminó 5 millas. ¿Qué tan lejos estarían el uno del otro? ¿Podrías usar una recta numérica para representar este escenario? En esta Sección revisarás el significado del valor absoluto y aprenderás a encontrar la distancia entre dos números en una recta numérica para que puedas resolver problemas como este.

Orientación

El valor absoluto de un número es la distancia desde cero en una recta numérica. Los números 4 y –4 están cada uno a cuatro unidades del cero en una recta numérica. Entonces, $|4|=4$ y $|-4|=4$ .

A continuación hay una definición más formal del valor absoluto.

Para cualquier número real $x$ ,

$|x|& =x \ for \ all \ x \ge 0\\\|x|& =-x (read \ \text{the opposite of} \ x) \ for \ all \ x<0$

La segunda parte de esta definición afirma que el valor absoluto de un número negativo es su opuesto (un número positivo).

Ejemplo A

Evalúa $|-120|$ .

Solución:

El valor absoluto de un número negativo es su inverso u opuesto. Por lo tanto, $|-120|=-(-120)=120$ .

Distancia en la recta numérica

Ya que el valor absoluto es siempre positivo, puede ser usado para encontrar la distancia entre dos valores en una recta numérica.

La distancia entre dos valores $x$ e $y$ en una recta numérica se encuentra por:

$distance=|x-y| \ or \ |y-x|$

Ejemplo B

Encuentra la distancia entre –5 y 8.

Solución:

Usa la definición de distancia. Digamos que $x=-5$ y $y=8$ .

$distance=|-5-8|=|-13|$

El valor absoluto de –13 es 13, entonces –5 y 8 están a 13 unidades de distancia.

Revisa en el gráfico a continuación que el largo de la recta entre los puntos -5 y 8 ies 13 unidades:

Ejemplo C

Encuentra la distancia entre -12 y 3.

Solución:

Usa la definición de distancia. Digamos que $x=3$ y $y=-12$ .

$distance=|3-(-12)|=|3+12|=|15|=15$

El valor absoluto de 15 es 15, entonces 3 y -12 están a 15 unidades de distancia.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Guided Practice

Encuentra la distancia entre 8 y -1.

Solución:

Usamos la fórmula de distancia. Digamos que $x=8$ y $y=-1$ .

$distance=|8-(-1)|=|8+1|=|9|=9$

Nótese que si decimos que $x=-1$ y $y=8$ , obtenemos:

$distance=|-1-8|=|-9|=9$ .

Entonces, no importa qué número elegimos para $x$ y $y$ . Obtendremos la misma respuesta.

Práctica

Evalúa el valor absoluto.

$|250|$
$|-12|$
$|-\frac{2}{5}|$
$|\frac{1}{10}|$

Encuentra la distancia entre los puntos.

12 y –11
5 y 22
–9 y –18
–2 y 3
$\frac{2}{3}$ y –11
–10.5 y –9.75
36 y 14

Revisión mixta

Resuelve: $6t-14<2t+7$ .
El límite de velocidad para un camión semirremolque en la carretera está entre 45 y 65 millas por hora.
1. Escribe esta situación como una inecuación compuesta
2. Grafica las soluciones en una recta numérica.
14. Lloyd puede costear gastos de transporte de menos de $276 por mes solamente. Su pago mensual por el automóvil es de $181 y deja aparte $25 por mes para cambios de aceite y otros costos de mantención. ¿Cuánto puede gastar en gasolina?
Simplifica $\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ .
Una receta para cocinar pan de maíz frito pide 3,4 onzas de harina para cocinar un lote de 8 panes de maíz frito. Necesitas cocinar 56 panes de maíz frito. ¿Cuánta harina necesitas?
¿Cuál es el inverso aditivo de 124?
¿Cuál es el inverso multiplicativo de 14?
Define la propiedad de la adición de inecuaciones .

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