Ecuaciones con valor absoluto

Aquí aprenderás cómo encontrar las soluciones para ecuaciones con valor absoluto.

Supongamos que un director de películas fue informado por un estudio de películas que el largo de la película que está filmando no debe pasarse de 120 minutos máximo ni de 10 minutos mínimo. ¿Cuáles son las películas más largas y más cortas que puede hacer? ¿Qué ecuación de valor absoluto puedes plantear para resolver esto? En esta Sección aprenderás cómo resolver problemas como este planteando y encontrando las soluciones a ecuaciones de valor absoluto.

Orientación

Las situaciones con valores absolutos también pueden involucrar variables desconocidas. Por ejemplo, supongamos que la distancia desde el cero es 16. ¿Cuáles dos puntos puede representar esto?

Empieza por escribir una oración en valor absoluto para representar esta situación.

$16=|n|, \ where \ n=the \ missing \ value$

¿Cuáles dos números están a 16 unidades desde el cero?

$n=16 \ or \ n=-16$

Las situaciones con valores absolutos pueden también involucrar distancias desde puntos diferentes al cero. Tratamos tales casos como inecuaciones compuestas, separando las dos ecuaciones independientes y resolviendo separadamente.

Ejemplo A

Resuelve para $x: |x-4|=5$ .

Solución: Esta ecuación se ve como la definición de distancia:

$distance=|x-y| \ or \ |y-x|$

La distancia es 5, y el valor de $y$ es 4. Estamos buscando dos valores que están a 5 unidades de cuatro en una recta numérica.

Visualmente, podemos ver que las respuestas son –1 y 9.

Algebraicamente, separamos las dos ecuaciones de valor absoluto y resolvemos.

$x-4=5 \ and \ x-4=-(5)$

Al resolver cada una, las soluciones son:

$x=9 \ and \ x=-1$

Ejemplo B

Resuelve $|2x-7|=-6$ .

Solución:

Empieza por separar esto en ecuaciones separadas.

$2x-7=-6 \ and \ 2x-7=-(-6)=6$

Resuelve cada ecuación por separado.

$2x-7& =6 && \qquad 2x-7=-6\\\2x-7+7& =6+7 && \ 2x-7+7=-6+7\\\2x& =13 && \qquad \ \ \quad 2x=1\\\x &=\frac{13}{2} && \qquad \qquad x=\frac{1}{2}$

Ejemplo C

Una empresa empaca granos de café en bolsas herméticas. Cada bolsa debe pesar 16 onzas pero es difícil llenar cada bolsa con el peso exacto. Después de ser llenadas cada bolsa es pesada y si hay más de 0,25 onzas de sobra o de menos, se vacía y se rellena. ¿Cuáles son las bolsas aceptables más ligeras y más pesadas?

Solución:

La cantidad variable es el peso de las bolsas de granos de café. Escoge una letra para representar esta cantidad y escribe una ecuación de valor absoluto para obtener:

$|w-16|=0.25$

Separa y resuelve.

$w-16& =0.25 && w-16=-0.25\\\w& =16.25 && \qquad \ w=15.75$

La bolsa más ligera aceptable pesa 15,75 onzas y la bolsa más pesada aceptable pesa 16,25 onzas.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica guiada

Resuelve para $n$ : $|-3n+5|=18$ .

Solución:

$|-3n+5|=17$ significa que $-3n+5=17$ o $-3n+5=-17$ .

Resolviendo cada una por separado, obtenemos:

$-3n+5& =17 && \qquad -3n+5=-17\\\2x-7+7& =6+7 && \ 2x-7+7=-6+7\\\2x& =13 && \qquad \ \ \quad 2x=1\\\x &=\frac{13}{2} && \qquad \qquad x=\frac{1}{2}$

Práctica

En 1–12, resuelve las ecuaciones de valor absoluto e interpreta los resultados graficando las soluciones en una recta numérica.

$|7u|=77$
$|x - 5| = 10$
$|5r-6|=9$
$1=\frac{|6+5z|}{5}$
$|8x|=32$
$|\frac{m}{8}|=1$
$|x+2|=6$
$|5x-2|=3$
$51=|1-5b|$
$8=3+|10y+5|$
$|4x-1|=19$
$8|x+6|=-48$

Una empresa fabrica reglas. Sus reglas de 12 pulgadas pasan los controles de calidad si están dentro de $\frac{1}{32}$ pulgadas del largo ideal. ¿Cuál es la regla más larga y más corta que sale de la fábrica?

Revisión mixta

Un mapa tiene una escala de $2 \ inch=125 \ miles$ . ¿Qué tan lejos estarían dos ciudades en el mapa si la distancia real es 945 millas?
Determina el dominio y rango: $\left \{(-9,0),(-6,0),(-4,0),(0,0),(3,0),(5,0)\right \}$ .
¿Es la relación en la pregunta #15 una función? Explica tu razonamiento..
Considera el problema $3(2x-7)=100$ . Lei dice que el primer paso para resolver esta ecuación es usar la propiedad distributiva para cancelar el paréntesis. Hough dice que el primer paso es resolver la ecuación dividiendo por 3. ¿Quién tiene la razón? Explica tu respuesta.
Grafica $4x+y=6$ usando sus interceptos.
Escribe $\frac{3}{30}$ como porcentaje. Redondea el centésimo más cercano.
Simplifica $-5\frac{2}{3} \div \frac{71}{8}$ .

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