Inecuaciones de valor absoluto

Aquí aprenderás sobre las inecuaciones de valor absoluto y cómo encontrar sus soluciones.

Supongamos que el perímetro de un jardín cuadrado es actualmente $4l$ metros, donde $l$ es el largo de uno de sus lados, y quieres cambiar el perímetro a 32 metros. Sin embargo, no quieres cambiar el perímetro por más de 8 metros. ¿Cuál debe ser, finalmente, el largo de uno de los lados? En esta Sección aprenderás cómo resolver inecuaciones de valor absoluto que representan escenarios tales como este.

Mira esto

Para obtener ayuda al graficar inecuaciones de valor absoluto, visita este video de YouTube (sólo disponible en inglés):

Algebra - Inequalities with Absolute Value

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

O también puedes visitar este enlace en TheMathPage: http://www.themathpage.com/alg/absolute-value.htm .

Orientación

Una inecuación de valor absoluto es una combinación de dos conceptos: valores absolutos e inecuaciones lineales. Por lo tanto, para resolver una inecuación de valor absoluto debes usar los métodos de resolución de problemas de ambas materias.

Para resolver una ecuación de valor absoluto, usa la definición.
- Si $d=|x-a|$ , entonces $x-a=d$ O $x-a= -d$ .
Para resolver una inecuación lineal usa la información aprendida en las Secciones anteriores.
- Recuerda, cuando divides por un número negativo debes revertir el signo de inecuación

Empecemos mirando un ejemplo.

Ejemplo A

$|x| \le 3$

Ya que $|x|$ representa la distancia desde cero, las soluciones a esta inecuación son aquellos números cuya distancia desde el cero es menor o igual a 3. El siguiente gráfico muestra esta solución:

Nótese que éste también es el gráfico para la inecuación compuesta $-3 \le x\le 3$ .

A continuación hay un segundo ejemplo.

Ejemplo B

$|x|>2$

Ya que el valor absoluto de $x$ representa la distancia desde cero, las soluciones a esta inecuación son aquellos números cuyas distancias desde el cero son mayores a 2. El siguiente gráfico muestra esta solución.

En general, las soluciones a inecuaciones de valor absoluto toman dos formas:

Si $|x|<a$ , entonces $x<a$ o $x>-a$ .
Si $|x|>a$ , entonces $x>a$ o $x<-a$ .

Ejemplo C

Resuelve $|x+5|>7$ .

Solución:

Esta ecuación es parecida a la situación 2. Por lo tanto, $x+5>7$ O $x+5<-7$ .

Resuelve cada inecuación por separado.

$x+5&>7 && x+5<-7 \\\x&>2 && \quad \ \ x<-12$

Las soluciones son todos los valores mayores a dos o menores a –12.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

La velocidad de un objeto está dada por la fórmula $v=25t-80$ , donde el tiempo está expresado en segundos y la velocidad está expresada en pies por segundo. Encuentra los tiempos en que la velocidad es mayor a o igual a 60 pies por segundo.

Solución:

Queremos encontrar los tiempos en que la velocidad es mayor o igual a 60 pies por segundo. Usando la fórmula de velocidad, $v=25t-80$ , y sustituyendo los valores adecuados, obtenemos la inecuación de valor absoluto $|25t-80|\ge 60$ .

Este ejemplo es como el caso 2. Separa y resuelve.

$25t-80 \ge 60$ o $25t-80 \le -60$

$25t \ge 140$ o $25t \le 20$

$t \ge 5.6$ o $t \le 0.8$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Álgebra básica: Inecuaciones de valor absoluto (3:26)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Te piden resolver $|a+1|\le 4$ . ¿En qué dos inecuaciones se separa esto?

En 2–21, resuelve la inecuación y muestra el gráfico solución.

$|x| \le 6$
$4 \le |a+4|$
$|x| > 3.5$
$6 > |10b+6|$
$|x| < 12$
$\left |\frac{w}{10}\right | < 2$
$\left |\frac{x}{5}\right | \le 6$
$|7x| \ge 21$
$|6c+5| < 47$
$|x-5| > 8$
$|x+7| < 3$
$|x-\frac{3}{4}| \le \frac{1}{2}$
$|2x-5| \ge 13$
$|5x+3|<7$
$\left |\frac{x}{3}-4\right | \le 2$
$\left |\frac{2x}{7}+9\right | > \frac{5}{7}$
$|-6t+3|+9 \ge 18$
$|9p+5|>23$
$|-2s-4|\le 6$
$\frac{|10m-5|}{8}>5$
Un bebé de tres meses de edad pesa un promedio de 13 libras. Un bebé se considera sano si pesa 2,5 más o menos que el peso promedio. Encuentra el rango de peso en que un bebé de tres meses es considerado sano.

Revisión mixta

Grafica $y=3|x-3|$ .
Grafica $y=\frac{5}{4} x-2$ .
¿Cuál es el 14,75% de 29?
Se vendió una polera por $31,99 estando marcada con 15%. ¿Cuál era el precio original?
Determina el equivalente en Fahrenheit de $16^\circ C$ usando la fórmula para convertir Celsius a Fahrenheit que aparece en una Sección anterior.
Charlene tiene 18 manzanas más que Raúl. Raúl tiene 36 manzanas. Escribe una ecuación para representar esta situación y determina cuántas manzanas tiene Charlene.
Supongamos que lanzas una moneda al aire. ¿Cuáles son los resultados posibles?
¿Cuántos grados hay en un círculo?

Prev Next

Inecuaciones de valor absoluto

Mira esto

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Revisión en video

Práctica guiada

Práctica

Licencia