Inecuaciones lineales en dos variables

Aquí aprenderás cómo graficar una inecuación lineal en un plano cartesiano cuando la inecuación tiene dos variables.

¿Sabías que en las ligas de hockey europeas los jugadores consiguen 2 puntos por gol y 1 punto por asistencia? Supongamos que el contrato de un jugador estipula que reciba un bono si anota más de 100 puntos. ¿Qué inecuación lineal podrías escribir para representar esta situación? ¿Cómo graficarías esta inecuación? En esta Sección aprenderás a graficar inecuaciones lineales en dos variables para que puedas analizar adecuadamente escenarios como este.

Orientación

Cuando una ecuación lineal está graficada en un plano cartesiano, la recta divide el plano en dos partes. Cada parte es llamada medio plano . El diagrama a continuación muestra cómo los medios planos son formados cuando graficamos una ecuación lineal.

También se puede graficar una inecuación lineal en dos variables. En vez de solo graficar la recta límite $(y=mx+b)$ , también debes incluir todos los otros pares ordenados que podrían ser soluciones para la inecuación. Esto se llama conjunto solución y se muestra sombreando o coloreando el medio plano que incluye las soluciones adecuadas.

Cuando graficamos inecuaciones en dos variables necesitamos recordar cuando el valor está incluido ( $\le$ o $\ge$ ) o no incluido ( $<$ o $>$ ). Para representar estas inecuaciones en un plano cartesiano en vez de círculos sombreados usamos líneas punteadas. Podemos decir qué mitad del plano pertenece a la solución mirando el signo de inecuación.

$>$ La solución es el medio plano sobre la recta.
$\ge$ La solución es el medio plano sobre la recta y también todos los puntos en la recta.
$<$ La solución es el medio plano bajo la recta.
$\le$ La solución es el medio plano bajo la recta y también todos los puntos en la recta.

La solución de $y > mx+b$ es el medio plano sobre la recta. La línea punteada muestra que los puntos en la recta no son parte de la solución.

La solución de $y \ge mx+b$ es el medio plano sobre la recta y todos los puntos en la recta.

La solución de $y < mx+b$ es el medio plano bajo la recta.

La solución de $y \le mx+b$ es el medio plano bajo la recta y todos los puntos en la recta.

Ejemplo A

Grafica la inecuación $y \ge 2x-3$ .

Solución:

Esta inecuación está en forma pendiente-intercepto. Comienza por graficar la recta. Luego determina qué medio plano se debe colorear.

La inecuación es $\ge$ ,por lo tanto la recta es sólida.
De acuerdo con la inecuación, deberías sombrear el medio plano sobre la recta límite.

En general, el proceso usado para graficar una inecuación lineal en dos variables es:

Paso 1: Grafica la ecuación usando el método más adecuado.

La forma pendiente-intercepto usa el intercepto $y-$ y la pendiente para encontrar la recta.
La forma estándar usa el intercepto para graficar la recta.
La forma punto-pendiente usa un punto y la pendiente para graficar la recta.

Paso 2: Si el signo igual no está incluido, dibuja una recta punteada. Dibuja una recta sólida sólo si el signo igual está incluido.

Paso 3: Ensombrece el medio plano sobre la recta si la inecuación es “mayor que.” “menor que.”

Ejemplo B

Julian trabaja como vendedor de electrodomésticos. Él gana una comisión de $60 por cada lavadora que vende y de $130 por cada refrigerador que vende. ¿Cuántas lavadoras y refrigeradores debe vender Julian para ganar $1.000 o más en comisión?

Solución:

Determina las variables adecuadas para las cantidades desconocidas. Digamos que $x =$ es el número de lavadoras que vende Julian y que $y =$ es el número de refrigeradores que vende Julian.

Ahora traducimos la situación en una inecuación. $60x + 130y \ge 1,000$ .

Graficamos la inecuación en forma estándar usando sus interceptos. Cuando $x=0, y=7.692$ . Cuando $y=0, x=16.667$ . La recta será sólida.

Queremos los pares ordenados que son soluciones para los que Julian gana más de $1.000, entonces sombreamos el medio plano sobre la recta límite.

Cómo graficar inecuaciones lineales verticales y horizontales

Las inecuaciones lineales de una variable también se pueden graficar en el plano cartesiano. Toman la forma de rectas horizontales y verticales; sin embargo, el proceso es idéntico a graficar rectas oblicuas , o inclinadas.

Ejemplo C

Grafica la inecuación $x>4$ en : 1) una recta numérica y 2) el plano cartesiano.

Solución:

Recuerda cómo se ve la solución a $x>4$ en una recta numérica.

La solución a esta inecuación es el conjunto de todos los números reales $x$ que son mayores a cuatro sin incluir el cuatro.

En un plano cartesiano, la recta $x=4$ es una línea vertical cuatro unidades a la derecha del origen. La inecuación no es igual a cuatro, por lo que la recta vertical está punteada. Esto le muestra al lector que los pares ordenados en la recta vertical $x=4$ no son soluciones para la inecuación.

La inecuación busca todas las coordenadas $x-$ mayores a cuatro. Entonces coloreamos el medio plano a la derecha, simbolizando $x>4$ .

También se pueden graficar inecuaciones absolutas en el plano cartesiano. Para graficar la inecuación $|x|\ge 2$ , podemos recordar la Sección anterior y reescribir la inecuación de valor absoluto.

$x \le -2$ o $x \ge 2$

Luego graficamos cada inecuación en un plano cartesiano.

En otras palabras, la solución es todos los puntos de coordenadas para los cuales el valor de $x$ es menor o igual a –2 y mayor o igual a 2. La solución está representada por el plano a la izquierda de la recta vertical $x=-2$ y el plano a la derecha de la recta $x=2$ .

Ambas rectas verticales son sólidas porque los puntos en la recta están incluidos en la solución.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Una libra de mezcla de café se hace mezclando dos tipos de granos de café. Un tipo cuesta $9,00 por libra y otro tipo cuesta $7,00 por libra. Encuentra todas las posibles mezclas de pesos de los dos diferentes granos de café para los cuales la mezcla cuesta $8,50 por libra o menos.

Solución:

Empieza por determinar las letras adecuadas para representar las cantidades variables.

Digamos que $x =$ peso de $9,00 por libra de granos de café y que $y =$ peso de $7,00 por libra de granos de café.

Traduce la información en una inecuación. $9x+7y \le 8.50$ .

Ya que la inecuación está en forma estándar, será más fácil graficar usando los interceptos.

Cuando $x=0, y=1.21$ . Cuando $y=0, x=0.944$ .

Grafica la inecuación. La recta será sólida. Ensombrecemos bajo la recta.

Graficamos solamente el primer cuadrante del plano cartesiano porque ninguna bolsa puede tener un peso negativo.

Las regiones azules nos dicen todas las posibilidades de las dos mezclas de café que darán un total menor o igual a $8,50.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Álgebra básica: Cómo graficar inecuaciones (8:03)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Define medio plano.
¿En qué casos representaríamos la recta límite con una línea punteada cuando graficamos inecuaciones?
¿En qué casos representaríamos la recta límite con una línea sólida cuando graficamos inecuaciones?
¿Qué método nos ayuda a determinar qué medio plano colorear cuando graficamos una inecuación?

En 5–26, grafica cada inecuación en un plano cartesiano.

$x < 20$
$y \ge -5$
$y \le 6$
$|x| > 10$
$|y| \le 7$
$y \le 4x+3$
$y > -\frac{x}{2}-6$
$y\le -\frac{1}{2} x+5$
$3x-4y \ge 12$
$x+7y < 5$
$y < -4x+4$
$y > \frac{7}{2}x+3$
$6x+5y>1$
$6x-5y\le 15$
$2x-y<5$
$y+5 \le -4x+10$
$x-\frac{1}{2}y \ge 5$
$y+4 \le -\frac{x}{3}+5$
$5x-2y > 4$
$30x+5y < 100$
$y \ge -x$
$6x-y < 4$
Lili puede hacer brazaletes de hilo para el tobillo y la muñeca. Tiene 600 yardas de hilo disponibles. Le toma 6 yardas hacer un brazalete para la muñeca y 8 yardas hacer uno para el tobillo. Encuentra todas las combinaciones posibles de brazaletes que puede hacer sin pasar su límite de hilo.
Una onza de oro cuesta $670 y una onza de plata cuesta $13. Encuentra todos los pesos posibles de oro y plata que hacen una aleación (mezcla de metales) que cuesta menos de $600 por onza.
Una compañía de teléfonos cobra 50 centavos por minuto durante el día y 10 centavos por minuto durante la noche. ¿Cuántos minutos en el día y en la noche tendrías que usar en un período de 24 horas para pagar más de $20,00?
Jesu tiene $30 para gastar en comida para un asado de su clase. Los hot dogs cuestan $0,75 cada uno (incluyendo el pan) y las hamburguesas cuestan $1,25 (incluyendo el pan y la ensalada). Grafica un plano que muestra todas las combinaciones de hot dogs y hamburguesas que puede comprar para el asado, gastando menos de $30,00
En un almacén cercano las frutillas cuestan $3,00 por libra y los plátanos cuestan $1,00 por libra. Si tengo $10 para gastar entre frutillas y plátanos, dibuja un gráfico que muestre qué combinaciones de cada una puedo comprar gastando como máximo $10.

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