Probabilidad teórica y experimental

Aquí aprenderás sobre la probabilidad teórica y experimental, incluyendo cómo describir espacios de muestra y cómo realizar simulaciones de probabilidad.

Supongamos que los números 0 a 9 están escritos cada uno en un trozo de papel y son puestos en una bolsa. Si uno de los trozos de papel es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad teórica de que sea un número par? Si se repitiese este experimento 10 veces, y se escogiera un número par 6 veces, ¿cuál sería la probabilidad experimental de elegir un número par? En esta Sección aprenderás todo sobre la probabilidad teórica y experimental, incluyendo espacios de muestra y simulación de probabilidades para que puedas responder preguntas como esta.

Orientación

Anteriormente trabajamos resolviendo problemas en situaciones definidas. En esta Sección empezaremos a adentrarnos en una rama de las matemáticas que trata de situaciones posibles . El estudio de las probabilidades involucra aplicar fórmulas para determinar la probabilidad porcentual de que ocurra un evento.

Casi todas las empresas usan alguna forma de probabilidades. Las empresas automotoras quieren determinar la probabilidad de que sus nuevos vehículos se vendan bien. Los fabricantes de cereales quieren saber la probabilidad de que sus cereales se vendan más que los de la competencia. Las corporaciones farmacéuticas necesitan saber la probabilidad de que un nuevo medicamento dañe a los que lo consumen. Hasta los políticos quieren saber la probabilidad de recibir suficientes votos para ganar la elección.

Las probabilidades pueden empezar con un experimento . Como aprendiste en una Sección anterior, un experimento es un estudio controlado. Por ejemplo, supongamos que quieres saber si la probabilidad de obtener sello al lanzar una moneda al aire es realmente $\frac{1}{2}$ . Al tomar una moneda al azar y crear un tabla de cara y sello estás haciendo un experimento.

El conjunto de todos los posibles resultados se conoce como espacio de muestra de experimento.

El espacio de muestra al lanzar una moneda es $\left \{heads,\ tails\right \}$ .

Ejemplo A

Enlista el espacio de muestra al tirar un dado.

Solución:

Un dado es una figura de seis lados con puntos que representan los números de uno a seis. Por lo tanto el espacio de muestra es todos los posibles resultados (es decir, los números que pueden salir).

$S=\left \{1,2,3,4,5,6,\right \}$

Una vez que has determinado el número de objetos en el espacio de muestra, puedes calcular la probabilidad de un evento particular.

Cualquier resultado posible del experimento es llamado evento .

La probabilidad teórica es una proporción que expresa las maneras para tener éxito en los eventos totales de un experimento. Una manera más breve de escribir esto es:

$\text{Probability} \ (success) = \frac{number \ of \ ways \ to \ get \ success}{total \ number \ of \ possible \ outcomes}$

Las probabilidades se expresan de tres maneras:

Como una fracción
Como un porcentaje
Como un decimal

Supongamos que quieres saber la probabilidad de sacar cara o sello al lanzar una moneda.

Habría dos maneras de obtener un éxito y dos resultados posibles.

$P(success)=\frac{2}{2}=1$

Este es un concepto muy importante de probabilidad.

La suma de las probabilidades individuales de los eventos es 100% , o 1 .

Ejemplo B

Determina la probabilidad teórica de obtener un cinco al lanzar un dado.

Solución: Hay seis eventos en el mismo espacio. Hay una manera de obtener un cinco.

$P(rolling \ a \ 5)=\frac{1}{6} \approx 16.67\%$

Cómo realizar un experimento

Llevar a cabo un experimento para efectos de probabilidades también se llama simulación de probabilidad . Supongamos que quieres realizar el experimento de la moneda del comienzo de esta Sección. Tomar una moneda al azar, lanzarla, y registrar el resultado es una simulación de probabilidad. También puedes simular un experimento usando una calculadora gráfica.

Realizar un experimento usando la calculadora gráfica TI-84

Hay una aplicación en las calculadoras TI llamada lanzamiento de moneda ("Toss coins"). Entre otras (incluyendo dados, aguja giratoria, elegir números al azar), el lanzamiento de moneda es una aplicación excelente para cuando quieres encontrar las probabilidades para una moneda lanzada múltiples veces.

Digamos que quieres lanzar una moneda a la vez. Aquí está lo que la calculadora mostrará y las teclas que debes presionar para llegar a este lanzamiento de moneda.

Digamos que quieres lanzar una moneda diez veces. Aquí está lo que la calculadora mostrará y las teclas que debes presionar para llegar a esta secuencia. Pruébalo tú mismo.

Podemos de hecho ver cuántas caras y sellos ocurrieron al lanzar 10 monedas. Si cliqueas en la flecha derecha $(>)$ la etiqueta de frecuencia te mostrará cuántos de esos lanzamientos resultaron en cara.

Usando esta información puedes determinar la probabilidad experimental de lanzar una moneda y ver sello cuando cae.

La probabilidad experimental es la proporción del resultado propuesto para el número de intentos experimentales.

$P(success)= \frac{number \ of \ times \ the \ event \ occurred}{total \ number \ of \ trials \ of \ experiment}$

Ejemplo C

Compara la probabilidad teórica de lanzar una moneda y obtener sello con la probabilidad experimental de obtener sello.

Solución:

La simulación de lanzamiento de moneda que hace la calculadora indicaba que hubo seis sellos en diez lanzamientos.

$P(flipping \ a \ tail)=\frac{1}{2}$

La simulación de lanzamiento de moneda que hace la calculadora indicaba que hubo seis sellos en diez lanzamientos..

$P(flipping \ a \ tail)=\frac{6}{10}$

La probabilidad experimental (60%) en este caso es mayor a la probabilidad teórica (50%).

Cómo encontrar las posibilidades a favor y en contra

Las posibilidades son similares a las probabilidades con la excepción del denominador de la proporción.

Las posibilidades a favor de un evento es la proporción del número de eventos exitosos contra el número de eventos no exitosos.

$\text{Odds} \ (success) = \frac{number \ of \ ways \ to \ get \ success}{number \ of \ ways \ to \ not \ get \ success}$

Ejemplo D

Supongamos que estamos interesados en las posibilidades de sacar un 5 al lanzar un dado.

¿Y si estuviésemos interesados en determinar las posibilidades contra sacar un 5 al lanzar un dado? Hay 5 resultados que no son “5” y un resultado de un “5.”

$Odds \ against \ rolling \ a \ 5= \frac{5}{1}$

Revisión en video

(Sólo en inglés)

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Práctica guiada

Encuentra las posibilidades en contra de sacar un número mayor a 2 al lanzar un dado.

Solución:

Hay cuatro resultados en un dado estándar mayores a $2: \left \{3,4,5,6\right \}$ .

$Odds \ against \ rolling>2= \frac{2}{4}$

Nótese que la proporción de “posibilidades en contra” es lo reciproco de la proporción de “posibilidades a favor” .

Práctica

Define probabilidad experimental.
¿En qué es la probabilidad experimental diferente a la probabilidad teórica?
Completa la tabla a continuación, convirtiendo entre valores de probabilidades.

Fracción	Decimal	Porcentaje
		98%
	0.015
$\frac{1}{16}$
$\frac{2}{3}$
		62%
	0.73

Usa la aplicación “SPINNER” en el simulador de probabilidades para las siguientes preguntas. Configura la aguja giratoria para cinco intentos.

¿Cuál es el espacio de muestra?
Encuentra la probabilidad teórica, $P$ ( con 4 intentos de $a$ ).
Realiza un experimento lanzando la aguja 15 veces y registrando cada número obtenido.
¿Cuál es la probabilidad experimental, $P$ ( con 4 intentos de $a$ )?
Señala un evento con 0% de probabilidad.

En 9–18, usa un mazo de cartas estándar de 52 cartas para responder las preguntas.

Cuántos valores hay en el espacio de muestra? ¿Cuál sería una forma fácil de enlistar todos estos valores?
Determina $P$ ( Rey ).
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta mayor a 10?
¿Cuáles son las posibilidades a favor de sacar un seis?
Determina $P$ ( Diamantes ).
Determina $P$ ( Nueve de trébol ).
Determina $P$ ( Rey o 8 de Corazones ).
¿Cuáles son las posibilidades en contra de sacar una espada?
¿Cuáles son las posibilidades en contra de sacar una carta roja?
Señala un evento con 100% de probabilidad.
Jorge dice que hay 60% de que llueva mañana. ¿Es una alta probabilidad? Explica tu razonamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que haya un huracán mañana en tu zona? ¿Por qué elegiste este porcentaje?

Considera lanzar dos monedas al mismo tiempo.

Escribe el espacio de muestra.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello?
Cuál es $P$ ( ambas caras )?
Señala un evento con 100% de probabilidad.
Realiza el experimento 20 veces. Encuentra la probabilidad experimental para obtener ambas caras. ¿Es esto diferente de la probabilidad teórica?

Revisión mixta

Grafica la inecuación en un plano cartesiano: $-2 \le w<6$ .
Resuelve y grafica las soluciones usando una recta numérica: $|n-3|>12$ .

Probabilidad teórica y experimental

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Ejemplo D

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Práctica guiada

Práctica

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