Gráficos de sistemas lineales

En esta Sección, aprenderás a utilizar una gráfica para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Imagina que una prueba tiene preguntas de selección múltiple y preguntas de completar espacios en blanco. Julia respondió correctamente 8 preguntas de selección múltiple y 3 preguntas de completar espacios en blanco, mientras que Jason respondió correctamente 6 preguntas de selección múltiple y 5 preguntas de completar espacios en blanco. Si Julia obtuvo un total de 14 puntos y Jason, 16 puntos, ¿cuántos puntos vale cada tipo de pregunta? ¿Podrías utilizar un gráfico para resolver el sistema de ecuaciones lineales que representa esta situación? En esta Sección, aprenderás a resolver sistemas lineales utilizando una gráfica con el fin de que puedas responder preguntas como éstas.

Orientación

En una Sección anterior, aprendiste que la intersección de dos conjuntos está unida por la palabra "y". Esta palabra también une dos o más ecuaciones o inecuaciones. A un conjunto de oraciones algebraicas unidas por la palabra "y" se le llama sistema.

La(s) solución(es) de un sistema es el conjunto de pares ordenados que las oración algebraica tienen en común.

Ejemplo A

Determina cuáles de los puntos (1, 3), (0, 2), y (2, 7) ies una solución para el siguiente sistema de ecuaciones . $\begin{cases}y = 4x - 1 \\\y = 2x + 3 \end{cases}$

Solución: una solución de un sistema es un par ordenado que satisface todas las oraciones algebraicas. Para determinar si un par ordenado en particular es una solución, sustituye las coordenadas por las variables $x$ y $y$ en cada ecuación y verifica.

Verifica (1, 3) : $\begin{cases}3 = 4(1)-1; \ 3=3. \ Yes, \ this \ ordered \ pairs \ checks. \\\3 = 2(1)+3; \ 3=5. \ No, \ this \ ordered \ pair \ does \ not \ check. \end{cases}$

Verifica (0, 2) : $\begin{cases}2=4(0)-1; \ 2=-1. \ No, \ this \ ordered \ pair \ does \ not \ check. \\\2=2(0)+3; \ 2=3. \ No, \ this \ ordered \ pair \ does \ not \ check. \end{cases}$

Verifica (2, 7) : $\begin{cases}7=4(2)-1; \ 7=7. \ Yes, \ this \ ordered \ pairs \ checks. \\\7=2(2)+3; \ 7=7. \ Yes, \ this \ ordered \ pairs \ checks. \end{cases}$

Debido a que la coordenada (2, 7) satisface ambas ecuaciones a la vez, es una solución del sistema.

Se puede graficar cada ecuación del sistema para determinar la coordenada que tienen en común. El punto en el que las rectas se intersecan representa la solución del sistema. La solución puede ser escrita de dos maneras:

Como un par ordenado, por ejemplo, (2, 7).
Escribiendo el valor de cada variable, por ejemplo $x=2, \ y=7$ .

Ejemplo B

Encuentra la solución del sistema.

$\begin{cases}y=3x-5\\\y=-2x+5 \end {cases}$ .

Solución: si graficas cada ecuación y encuentras el punto de intersección, puedes hallar la solución del sistema.

Cada ecuación está escrita en la forma pendiente-intercepto y puede ser graficada utilizando los métodos aprendidos anteriormente.

Las rectas parecen intersecar el par ordenado (2, 1). ¿Es este punto la solución del sistema?

$\begin{cases}1=3(2)-5; \quad 1=1\\\1=-2(2)+5; \ 1=1 \end {cases}$

Las coordenadas fueron verificadas en ambas ecuaciones. Por lo tanto, (2, 1) es una solución del sistema $\begin{cases}y=3x-5\\\y=-2x+5 \end{cases}$ .

La gran ventaja de graficar es que ofrece una representación más visual de un sistema de ecuaciones y de su solución. Sin embargo, puedes observar que determinar una solución a partir de uná gráfica requeriría de una graficación muy precisa de las rectas y sólo es realmente útil cuando estás seguro de que la solución tendrá valores enteros para $x$ y $y$ . En la mayoría de los casos, este método ofrece sólo soluciones aproximadas para los sistemas de ecuaciones. Se necesitan utilizar otros métodos para obtener soluciones exactas.

Resolución de sistemas mediante una calculadora gráfica

Se puede utilizar una calculadora gráfica para encontrar o verificar soluciones de un sistema de ecuaciones. Para resolver un sistema gráficamente, debes graficar las dos rectas en el mismo gráfico y encontrar el punto de intersección. Puedes usar una calculadora para graficar las rectas en vez de hacerlo a mano.

Ejemplo C

Utilizando el sistema del ejemplo anterior, $\begin{cases}y=3x-5\\\y=-2x+5 \end{cases}$ , usaremos una calculadora gráfica para encontrar las soluciones aproximadas del sistema.

Comienza por ingresar las ecuaciones en el menú $Y=$ de la calculadora.

Ya sabes que la solución del sistema es (2, 1). Se debe ajustar la pantalla para ver una imagen precisa. Cambia la pantalla a pantalla por defecto. .

Presiona el botón GRAPH para ver las gráficas.

La solución de un sistema es la interseccion de las ecuaciones. Para encontrar las intersecciones utilizando una calculadora gráfica, localiza el menú Calculate presionando las teclas $2^{nd}$ y TRACE . Escoge la opción #5 – INTERSECTION .

La calculadora te preguntará “First Curve?” (primera curva).Presiona ENTER . La calculadora automáticamente pasará a la otra curva y te preguntará “Second Curve?” (segunda curva). Presiona ENTER . La calculadora te preguntará , “Guess?” (adivinar). Presiona ENTER . La intersección aparecerá en la parte inferior de la pantalla.

Ejemplo D

A Peter y Nadia les gusta competir entre ellos. Peter puede correr a una velocidad de 5 pies por segundo y Nadia, a una velocidad de 6 pies por segundo. Para hacerlo más competitivo, a Nadia le gusta darle a Peter una ventaja de 20 pies. ¿Cuánto demora Nadia en alcanzar a Peter? ¿A qué distancia de la partida Nadia alcanza a Peter?

Solución: comienza por traducir la situación de cada corredor a una ecuación utilizando $distance=rate \times time$ .

Peter: $d=5t+20$

Nadia: $d=6t$

Te piden el tiempo en que Nadia alcanza a Peter. La solución es el punto de intersección de las dos rectas. Grafica cada ecuación y encuentra la intersección.

Las dos rectas se cruzan en las coordenadas $t=20, \ d=120$ . Esto significa que Nadia alcanzará a Peter después de 20 segundos; en ese segundo, estarán a una distancia de 120 pies. Después de los 20 segundos, Nadia estará más lejos de la línea de partida que Peter.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Resuelve el sistema $\begin{cases}x+y=2\\\\qquad y=3 \end{cases}$ .

Solución: la primera ecuación está escrita en la forma general. Será más fácil graficar esta recta si se usan sus interceptos.

La segunda ecuación es una recta horizontal que se encuentra tres unidades hacia arriba a partir del origen.

Las rectas parecen intersecarse en (–1, 3).

$\begin{cases}-1+3=2; \ 2=2\\\\qquad 3=3 \end{cases}$

Las coordenadas son solución para cada ecuación y también para el sistema.

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Solving Linear Systems by Graficaing (8:30)

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.