Resolución de sistemas mediante el método de sustitución

Imagina que en una pastelería, los bagel se venden por un precio y los muffin por otro. 4 bagel y 3 muffin cuestan $11, mientras que 3 bagel y 3 muffin cuestan $12. ¿Cuánto cuesta cada bagel y muffin? ¿Podrías establecer un sistema de ecuaciones para hallar los precios? ¿Crees que podrías resolver este sistema utilizando el método de sustitución? Después de terminar esta Sección, podrás usar el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma que puedas abordar situaciones como ésta.

Orientación

Si bien usar gráficos para resolver sistemas es útil, puede que no siempre proporcione las respuestas exactas. Por lo tanto, aprenderemos un segundo método para resolver sistemas. Este método utiliza la propiedad de sustitución de la igualdad .

Propiedad de sustitución de la igualdad: si una expresión algebraica , entonces la expresión algebraica puede ser sustituida por cualquier en una ecuación o una inecuación.

Considera el ejemplo de la competencia de la Sección anterior.

Ejemplo A

A Peter y Nadia les gusta competir entre ellos. Peter puede correr a una velocidad de 5 pies por segundo y Nadia, a una velocidad de 6 pies por segundo. Para hacerlo más competitivo, a Nadia le gusta darle a Peter una ventaja de 20 pies. ¿Cuánto demora Nadia en alcanzar a Peter? ¿A qué distancia de la partida Nadia alcanza a Peter?

La información de los dos corredores fue traducida a dos ecuaciones.

Peter:

Nadia:

Queremos saber cuándo los dos corredores estarán a la misma distancia de la partida. Esto significa que podemos establecer dos ecuaciones iguales entre sí.

Ahora despeja .

Nadia alcanzará a Peter después de 20 segundos.

Ahora tenemos que determinar a qué distancia están los dos corredores. Ya sabes que , así que utilizaremos la sustitución para determinar la distancia. Usando cualquiera de las ecuaciones , sustituye el valor conocido para y encuentra .

Cuando Nadia alcance a Peter, ambos estarán a 120 pies de la línea de partida.

El método de sustitución es útil cuando una ecuación del sistema es de la forma expresión algebraica o expresión algebraica .

Ejemplo B

Encuentra la solución para el sistema utilizando el método de sustitución .

Solución: cada ecuación es igual a la variable ,por lo tanto, las dos expresiones algebraicas deben ser iguales entre sí.

Despeja .

La coordenada de la intersección de dos rectas es 2. Ahora debes encontrar la coordenada utilizando cualquiera de las dos ecuaciones. .

La solución del sistema es or (2, 1).

Resolución de problemas de la vida cotidiana mediante la sustitución

Ejemplo C

Anne está intentando escoger entre dos planes de teléfono. El plan de Vendaphone cuesta $20 mensuales y las llamadas cuestan 25 centavos más por minuto. El plan de Sellnet cobra $40 mensuales, pero las llamadas cuestan 8 centavos por minuto. ¿Qué plan debería escoger Anne?

Solución: la elección de Anne dependerá de cuántos minutos para llamar ella espera utilizar cada mes. Comencemos por escribir dos ecuaciones por el costo en dólares en función de los minutos usados. Debido a que la cantidad de minutos es la variable independiente, ésta será nuestra . El costo depende de los minutos. El costo mensual es la variable dependiente y se le asignará .

Graficando las dos ecuaciones, podemos ver que en algún punto los dos planes cobrarán lo mismo y esta cantidad estará representada por la intersección de las dos rectas. Antes de este punto, el plan de Sellnet es más caro. Después del punto de intersección, el plan de Sellnet es más barato.

Utiliza la sustitución para encontrar el punto en el que los dos planes cobran lo mismo. Cada expresión algebraica es igual a , por lo que deben ser iguales entre sí.

Ahora podemos usar la gráfica más esta información para dar una respuesta. Si Anne va a ocupar 117 minutos o menos mensualmente, debería escoger Vendafone. Si planea ocupar 118 o más minutos, debería escoger Sellnet.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Resuelve el sistema .

Solución: la segunda ecuación está resuelta para la variable . Por lo tanto, podemos sustituir el valor "3" por cualquier en el sistema.

Ahora resolvemos la ecuación para encontrar

La coordenada de la intersección de estas dos ecuaciones es -1. Ahora debemos encontrar la coordenada utilizando el método de sustitución.

Como se vio en la Sección anterior, la solución del sistema es (-1, 3).

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Solving Linear Systems by Sustitución (9:21)

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

1. Explica el proceso de resolución de un sistema mediante la propiedad de sustitución.
2. ¿Qué sistemas son más fáciles de resolver utilizando la sustitución?

Resuelve los siguientes sistemas. ¡Recuerda encontrar el valor de ambas variables!

3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. Resuelve el sistema utilizando un gráfico y el método de sustitución. ¿Cuál método prefieres? ¿Por qué?
15. De los dos ángulos que no son rectos en un triángulo rectángulo, uno mide el doble del otro. ¿Cuáles son los ángulos?
16. 16. La suma de dos números es 70, su diferencia es 11. ¿Cuáles son los números?
17. 17. Un terreno rectangular está cerrado con una cerca en tres de sus lados y un muro en su cuarto lado. El largo total de la cerca es 320 yardas. Si el terreno tiene un perímetro total de 400 yardas, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
18. Un rayo corta una recta y forma dos ángulos. La diferencia entre los dos ángulos es . ¿Cuánto mide cada ángulo?

Repaso mixto

19. Despeja .
20. Resta: .
21. Escribe las letras de la palabra ILLINOIS por separado en papelitos y colócalos en un sombrero.
    1. Encuentra ( sacando una ).
    2. Encuentra la probabilidad de sacar una .
22. Grafica en una recta numérica y en un plano cartesiano.
23. Da un ejemplo de un par ordenado ubicado en el Cuadrante II.
24. Los siguientes datos muestran la expectativa de vida promedio en Estados unidos para varios años.
    1. Utiliza el método de interpolación para encontrar la expectativa de vida promedio en 1943.
    2. Utiliza el método de extrapolación para encontrar la expectativa de vida promedio en el año 2000.
    3. Encuentra una ecuación para la recta de mejor ajuste. ¿Cómo se comparan las predicciones de este modelo con tus respuestas de las preguntas a) y b)?