Problemas relacionados con mezclas

En esta Sección, aprenderás los pasos necesarios para resolver problemas que involucran mezclas.

¿Qué pasaría si tuvieras dos tipos de jugo de uva: uno con 5% de jugo de fruta natural y otro con 10%? Imagina que quieres un galón de jugo de uva con 6% de fruta natural. ¿Cuánto deberías mezclar del jugo de 5% y del jugo de 10% para producirlo? En esta Sección, aprenderás a resolver problemas que involucran mezclas como éstos.

Orientación

¡Los sistemas de ecuaciones surgen en química cuando se mezclan químicos en soluciones e incluso se pueden ver en situaciones como mezclar nueces y pasas o revisar el vuelto en tu bolsillo!

Si reacomodas una ecuación a la forma $y=$ expresión algebraica o $x=$ expresión algebraica , puedes usar el método de sustitución para resolver el sistema.

Ejemplo A

Nadia vacía su monedero y se encuentra con que tiene sólo monedas de cinco y diez centavos. Si tiene un total de 7 monedas y juntas tienen un valor de 55 centavos, ¿cuántas monedas de cada valor tiene?

Solución: comienza por escoger las variables apropiadas para las cantidades desconocidas. Deja $n=$ el número de monedas de 5 centavos y $d=$ el número de monedas de 10 centavos .

Hay 7 monedas en el monedero de Nadia: $n+d=7$ .

El total es 55 centavos: $0.05n+0.10d=0.55$ .

El sistema es: $\begin{cases}\qquad \quad \ \ n+d=7\\\0.05n+0.10d=0.55 \end{cases}$ .

Podemos reacomodar rápidamente la primera ecuación para aislar $d$ , el número de monedas de 10 centavos: $d=7-n$ .

Utilizando la propiedad de sustitución, cada $d$ puede ser reemplazada por la expresión $7-n$ .

$0.05n+0.10(7-n)&=0.55\\\\text{Now solve for} \ n: \qquad 0.05n+0.70-0.10n&=0.55 \qquad \text{Distributive Property}\\\-0.05n+0.70&=0.55 \qquad \text{Add like terms.}\\\-0.05n&=-0.15 \quad \ \text{Subtract} \ 0.70.\\\n& =3 \qquad \quad \ \text{Divide by} \ -0.05.$

Nadia tiene 3 monedas de 5 centavos. Hay 7 monedas en el monedero, tres de ellas son monedas de 5 centavos, así que 4 deben ser monedas de 10 centavos.

Verifica para estar seguro de que las monedas suman 55 centavos: $0.05(3)+ 0.10(4)= 0.15+0.40=0.55$ .

Ejemplo B

Un químico tiene dos recipientes, una mezcla $A$ y una mezcla $B$ . La mezcla $A$ y una mezcla $B$ La mezcla contiene 60% de una concentración de sulfato de cobre; la mezcla contiene 5% de una concentración de sulfato de cobre. El químico necesita tener una mezcla de 500 ml con un 15% de concentración. ¿Cuánto de cada mezcla necesita el químico?

Solución: aunque no está explícito, existen dos ecuaciones involucradas en esta situación.

Comienza por determinar las variables. Deja $A = mixture \ A \ and \ B = mixture \ B$ .
" La mezcla total necesita tener 500 ml de líquido.

Ecuación 1 (cantidad de líquido en total): $A+B=500$ .

La cantidad total de sulfato de cobre debe ser 15% de la cantidad total de la solución (500 ml). $0.15 \cdot 500=75 \ ounces$

Ecuación 2 (cantidad de sulfato de cobre que necesita el químico): $0.60A+0.05B=75$

$\begin{cases}A+B=500\\\0.60A+0.05B=75 \end{cases}$

Si se reescribe la ecuación 1, se puede utilizar la propiedad de sustitución: $A=500-B$ .

Sustituye la expresión $500-B$ por la variable $A$ en la segunda ecuación.

$0.60(500-B)+0.05B=75$

Despeja $B$ .

$300-0.60B+0.05B& =75 && \text{Distributive Property}\\\300-0.55B&=75 && \text{Add like terms.}\\\-0.55B&=-225 && \text{Subtract} \ 300.\\\B & \approx 409 \ mL$

El químico necesita aproximadamente 409 ml de mezcla $B$ . Para encontrar la cantidad de mezcla $A$ , utiliza la primera ecuación: $A+409=500$

$A=91 \ mL$

El químico necesita 91 mililitros de mezcla $A$ y 409 mililitros de mezcla $B$ para obtener una solución de 500 ml con una concentración de 15% de sulfato de cobre.

Ejemplo C

Una compañía de café fabrica un producto que es una mezcla de dos cafés, un café que cuesta $10,20 por libra y otro café que cuesta $6,80 por libra. Para hacer 20 libras de una mezcla que cuesta $8,50 por libra, ¿cuánto de cada tipo de café se debería usar?

Solución:

Deja que $m$ sea la cantidad del café de $10,20 y deja que $n$ sea la cantidad que se necesita para el café de $6,80. Debido a que queremos 20 libras del café que cuesta $8,50 por libra, el costo total para las 20 libras es $20\cdot \$8.50=\$170$ . El costo para las 20 libras de mezcla es igual a la suma de los costos de cada tipo de café: $10.20\cdot m + 6.8\cdot n =170$ .

Además, la suma de las cantidades de cada tipo de café es igual a 20 libras: $m+n=20$ .

El sistema es: $\begin{cases}\qquad \quad \ \ m+n=20\\\10.20\cdot m + 6.8\cdot n =170 \end{cases}$ .

Podemos aislar una variable y utilizar la sustitución para resolver el sistema:

$m=20-n$

$10.20(20-n) + 6.8n &=170\\\\text{Now solve for} \ n: \qquad 204 -10.20n+6.8n&=0170 \qquad \text{Distributive Property}\\\204 -3.4n&=170 \qquad \text{Add like terms.}\\\-3.4n&=-34 \quad \ \text{Subtract} \ 204.\\\n& =10 \qquad \quad \ \text{Divide by} \ -3.4.$

Ya que $n=10$ , podemos reemplazarlo en $m+n=20$ .

$m+10=20 \Rightarrow m=10$ .

La compañía de café necesita utilizar 10 libras de cada tipo de café para tener 20 libras de mezcla del café que cuesta $8,50 por libra.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Una pintura látex de color verde que contiene 20% de color amarillo es combinada con una pintura látex de un verde más oscuro que contiene 45% de pintura amarilla. ¿Cuántos galones de cada pintura se deben usar para crear 15 galones de una pintura verde que contiene 25% de pintura amarilla?

Solución:

Deja que $x$ sea el número de galones con 20% de pintura amarilla y deja que $y$ sea el número de galones con 45% de pintura amarilla. Esto significa que queremos que los dos números sumen 15: $x+y=15$

Ahora, si se quieren 15 galones con 25% de pintura amarilla, esto significa que se necesitan $0.25 \cdot 15=3.75$ galones de pigmento amarillo puro. La expresión $0.20\cdot x$ representa la cantidad de pigmento amarillo puro en los galones $x$ con 20% de pintura amarilla. La expresión $0.45\cdot y$ representa la cantidad de pigmento amarillo puro en los galones $y$ con 45% de pintura amarilla. Calculando las dos últimas sumas el resultado es 3,75 galones de pigmento puro en la mezcla final:

$0.20x+0.40y=3.75$

El sistema es: $\begin{cases}\qquad \quad \ \ x+y=15\\\0.20x+0.45y=3.75 \end{cases}$ .

Podemos aislar una variable y utilizar la sustitución para resolver el sistema:

$x=15-y$

$0.20(15-y)+0.45y&=3.75\\\\text{Now solve for} \ x: \qquad 3-0.20y+0.45y&=3.75 \qquad \text{Distributive Property}\\\3+0.2y&=3.75 \qquad \text{Add like terms.}\\\0.25y&=0.75\quad \ \text{Subtract} \ 3.\\\y& =3 \qquad \quad \ \text{Divide by} \ 0.25.$

Ahora podemos reemplazar $y=3$ en $x+y=15$ :

$x+y=15 \Rightarrow x+3=15 \Rightarrow x=12$ .

Esto significa que se deberán mezclar 12 galones con 20% de pintura amarilla y 3 galones con 45% de amarillo para obtener 15 galones con 25% de pintura amarilla.

Práctica

Tengo $15,00 y quiero comprar 5 libras de una mezcla de frutos secos para una fiesta. El maní cuesta $2,20 por libra y las castañas de cajú, $4,70 por libra. ¿Cuántas libras de cada una debería comprar?
El experimento de un químico necesita de un litro de ácido sulfúrico a una concentración de 15%, pero en el cuarto de suministros sólo hay ácido sulfúrico en concentraciones de 10% y 35%. ¿Cuántos litros de cada ácido se deberían mezclar para darle la acidez necesaria al experimento?
Bachelle quiere saber la densidad de su pulsera, la cual está hecha de una mezcla de oro y plata. La densidad es igual a la masa total dividida por el volumen total. La densidad del oro es 19,3 g/cc y la densidad de la plata es 10,5 g/cc. El lapidario le dijo que el volumen de la plata que se usó era de 10 cc y el del oro, 20cc. Encuentra la densidad combinada de su pulsera.
Jeffrey quiere hacer mermelada. Necesita seis libras de una mezcla de frambuesas y arándanos, y puede gastar $11,60. ¿Cuántas libras de cada fruto debería comprar Jeffrey?
Un agricultor tiene un fertilizante en soluciones de 5% y 10%. ¿Cuánto de cada tipo de solución debería mezclar para obtener 100 litros de fertilizante en una solución al 12%?

Repaso mixto

El área de un cuadrado es $96 \ inches^2$ . Encuentra la longitud de un cuadrado con exactitud.
El volumen de una esfera es $V= \frac{4}{3} \pi r^3$ , donde $r=radius$ . Encuentra el volumen de una esfera que tiene un diámetro de 11 centímetros.
Encuentra:
1. el inverso aditivo de 7,6.
2. el inverso multiplicativo de 7,6.
Despeja $x: \frac{1.5}{x}=6$ .
La temperatura en Fahrenheit puede ser calculada aproximadamente por los grillos, utilizando la regla "cuenta cuantas veces grilla un grillo en 15 segundos y súmale 40".
1. ¿Cuál es el dominio de esta función?
2. ¿Cuál es el rango?
3. ¿Esperarías escuchar algún grillo cuando la temperatura es $32^\circ F$ ? Explica tu respuesta.
4. ¿Cuántas sonidos de grillos esperarías escuchar si la temperatura fuera de $57^\circ C$ ?
¿Es 4,5 una solución para $45-6x \le 18$ ?
Grafica $y=|x|-5$ .
Resuelve: escribe la solución usando la notación de intervalo y grafica la solución en una recta numérica $-9\ge \frac{c}{-4}$ .
El área de un rectángulo es 1.440 centímetros cuadrados. Su longitud es diez veces más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Supón que $f(x)=8x^2-10$ . Encuentra $f(-6)$ .
Torrey está haciendo velas de cera de abeja. Cada vela delgada necesita 86 pulgadas cuadradas y cada vela gruesa necesita 264 pulgadas cuadradas. Torrey tiene un total de 16 pies cuadrados de cera de abeja. Grafica todas las combinaciones posibles de velas delgadas y gruesas que Torrey podría hacer (Pista: $one \ square \ foot=144 \ square \ inches$ ).

Prev Next