Resolución de sistemas lineales mediante la adición o sustracción

En esta Sección, aprenderás a usar el método de eliminación en casos de adición o sustracción simple para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Imagina que dos familias grandes fueron a un parque de diversiones donde las entradas de adulto y de niño tenían precios diferentes. Si la primera familia estaba compuesta de 5 adultos y 8 niños y pagó un total de $124 y en la segunda familia eran 5 adultos y 12 niños y pagó $156, ¿cuánto costaba la entrada de adulto y la de niño? ¿Podrías escribir un sistema de ecuaciones que represente esta situación? Si quisieras resolver el sistema mediante la eliminación, ¿cómo lo harías? En esta Sección, aprenderás a utilizar el método de eliminación por suma o resta para resolver un sistema de ecuaciones lineales similar al que se representa en esta situación.

Observa.

Enlace multimedia Para obtener ayuda con la resolución de sistemas mediante la eliminación, visita el sitio web: http://www.teachertube.com/viewVideo.php?title=Solving_System_of_Equations_using_Elimination&video_id=10148 Teacher Tube video.

Orientación

Como pudiste notar en la Sección anterior, resolver un sistema de forma algebraica te entregará una respuesta más precisa y, en algunos casos, es más fácil que graficar. Sin embargo, también notaste que en muchos casos fue difícil reescribir una ecuación antes de que pudieras usar la propiedad de sustitución. Existe otro método para resolver sistemas de forma algebraica: el método de eliminación. .

El propósito de emplear el método de eliminación para resolver un sistema es cancelar o eliminar una variable mediante la suma o la resta de dos ecuaciones. Este método funciona bien si ambas ecuaciones están en su forma general.

Ejemplo A

Si una manzana más un plátano cuestan $1,25 y una manza más dos plátanos valen $2,00, ¿cuánto cuesta un plátano? ¿Cuánto cuesta una manzana?

Solución: comienza por definir las variables de la situación. Deja que $a=$ el número de plátanos y $b=$ el número de plátanos . Traduciendo cada compra a una ecuación, obtienes el siguiente sistema:

$\begin{cases}a+b=1.25\\\a+2b=2.00 \end{cases}$ .

Puedes reescribir la primera ecuación y usar la propiedad de sustitución en este caso, pero debido a que ambas ecuaciones están en su forma general, también puedes usar el método de eliminación.

Debes notar que cada ecuación tiene el valor $1a$ . Si restaras estas ecuaciones ¿qué pasaría?

$& \qquad a + b \ =1.25\\\&\underline{\;\;\;- (a+2b=2.00)\;\;\;}\\\& \qquad \quad -b =-0.75\\\& \qquad \qquad \ b =0.75$

Por lo tanto, un plátano cuesta $0,75 o 75 centavos. Si restas las dos ecuaciones, se puede eliminar una variable y despejar la que queda.

¿Cuánto cuesta una manzana? Utiliza la primera ecuación y la propiedad de sustitución.

$a+0.75&=1.25\\\a&=0.50 \rightarrow one \ apple \ costs \ 50 \ cents$

Ejemplo B

Resuelve el sistema $\begin{cases}3x+2y=11\\\5x-2y=13\end{cases}$ .

Solución: sería muy difícil reescribir estas dos ecuaciones en la forma pendiente-intercepto para graficarla o utilizar la propiedad de sustitución. Este problema nos dice que intentemos eliminar una variable. Los coeficientes de las variables $x-$ no tienen nada en común, por lo que sumar no cancelará la variable $x-$ .

Si observas la variable $y-$ puedes ver que los coeficientes son 2 y -2. Si los sumas, obtienes cero. Suma estas dos ecuaciones y observa lo que ocurre.

$& \qquad \ 3x+2y =11\\\&\underline{\;\; + \ (5x-2y) =13 \;\;}\\\& \qquad \ 8x+0y =24$

La ecuación que resulta es $8x=24$ . Despejando $x$ , obtienes $x=3$ . Para encontrar la coordenada $y-$ escoge cualquiera de las ecuaciones , y sustituye el número 3 en la variable $x$ .

$3(3)+2y&=11\\\9+2y&=11\\\2y&=2\\\y&=1$

El punto de intersección de estas dos ecuaciones es (3,1).

Ejemplo C

Andrew está remando su canoa por un río con mucha corriente. Remando rio abajo, Andrew se desplaza a 7 millas por hora, en relación a la orilla del río. Remando río arriba, Andrew se desplaza más lento y viaja a 1,5 millas por hora. Si rema con la misma fuerza en ambas direcciones, calcula, en millas por hora, la velocidad del río y la velocidad a la que se desplazaría Andrew en aguas tranquilas.

Solución: tenemos dos incógnitas por despejar, por lo que llamaremos la velocidad a la que Andrew rema $x$ , y la velocidad del río $y$ . Cuando se desplaza río abajo, la velocidad de Andrew es impulsada por la corriente del río, por lo tanto, su velocidad total es igual a la velocidad de la canoa más la velocidad del río $(x+y)$ . Río arriba, su velocidad se ve ralentizada por la velocidad del río. Su velocidad río arriba es $(x-y)$ .

$\text{Downstream Equation} && x+y&=7\\\\text{Upstream Equation} && x-y&=1.5$

Debes notar que $y$ e $-y$ son inversos aditivos. Si los sumas, obtendrás cero. Por lo tanto, si sumas las dos ecuaciones, la variable $y$ se cancelará y te dejará la otra variable, $x$ ,para despejar.

$& \qquad \ x+y=7\\\&\underline{\;\; + \ (x-y)=1.5 \;\;}\\\& \quad \ 2x+0y=8.5\\\& \qquad \quad \ \ 2x=8.5$

Por lo tanto, $x=4.25$ ; Andrew está remando a $4.25 \ miles/hour$ . Para encontrar la velocidad del río, sustituye el valor conocido en cada ecuación y resuelve.

$4.25-y&=1.5\\\-y&=-2.75\\\y&=2.75$

La corriente actual se está moviendo a una velocidad de $2.75 \ miles/hour$ .

Repaso en video

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Práctica guiada

Resuelve el sistema $\begin{cases}5s+2t=6\\\9s+2t=22\end{cases}$ .

Solución:

Debido a que ambas ecuaciones están escritas en la forma general y ambas tienen el término $2t$ utilizaremos la eliminación por resta. Esto causará que los términos $t$ se cancelen y quede sólo una variable, $s$ , la cual podemos aislar.

$& \qquad \ 5s+2t=6\\\&\underline{\;\; - \ (9s+2t = 22) \;\;}\\\& \qquad \ -4s+0t =-16\\\& \qquad \ -4s=-16\\\& \qquad \ s=4$

$5(4)+2t&=6\\\20+2t&=6\\\2t&=-14\\\t&=-7$

La solución es $(4,-7)$ .

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Solving Linear Systems by Elimination (12:44)

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

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¿Cuál es el propósito de usar el método de eliminación para resolver un sistema? ¿Cuándo es adecuado usar este método?

En los ejercicios 2 - 10, resuelve cada sistema utilizando la eliminación.

$\begin{cases}2x+y=-17\\\8x-3y=-19 \end{cases}$
$\begin{cases}x+4y=-9\\\-2x-5y=12 \end{cases}$
$\begin{cases}-2x-5y=-10\\\x+4y=8 \end{cases}$
$\begin{cases}x-3y=-10\\\-8x+5y=-15 \end{cases}$
$\begin{cases}-x-6y=-18\\\x-6y=-6 \end{cases}$
$\begin{cases}5x-3y=-14\\\x-3y=2 \end{cases}$
$&3x+4y=2.5\\\&5x-4y=25.5$
$&5x+7y=-31\\\&5x-9y=17$
$&3y-4x=-33\\\&5x-3y=40.5$
Nadia y Peter visitan la tienda de dulces. Nadia compra tres barras de dulce y cuatro láminas de frutas Roll-ups por $2,84. Peter también compró tres barras de dulces, pero puede comprar sólo una lámina de fruta Roll-ups; su compra salió $1,79. ¿Cuál es el costo de una barra de dulce y de una lámina de fruta?
Un avión pequeño vuela desde Los Angeles a Denver con un viento de cola (el viento sopla en la misma dirección que el avión) y un controlador de tráfico aéreo mide su velocidad absoluta (velocidad medida en relación la tierra) en 275 millas por hora. Otro avión igual que se mueve en la dirección opuesta tiene una velocidad absoluta de 227 millas por hora. Suponiendo que ambos aviones están volando a velocidades aéreas idénticas, calcula la velocidad del viento.
Una empresa de taxi del aeropuerto cobra una tarifa por recoger a un cliente más una tarifa por milla recorrida. Si un viaje de 12 millas cuesta $14,29 y un viaje de 17 millas cuesta $19,91, calcula:
1. la tarifa por recoger a un cliente.
2. la tasa por milla.
3. el costo de un viaje de siete millas.
Las llamadas desde un teléfono público se cobran por minuto, con una tarifa para los primeros cinco minutos y luego con una tarifa diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de siete minutos sale $4,25 y una llamada de 12 minutos cuesta $5,50, encuentra cada tarifa.
Un fontanero y un albañil fueron contratados para arreglar un baño nuevo, cada uno trabajando diferentes cantidades de horas. El fontanero gana $35 por hora y el albañil, $28 por hora. Juntos se les pagó $330,75, pero el fontanero ganó $106,75 más que al abañil. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?
Paul trabaja medio tiempo vendiendo computadores en una tienda de artículos eléctricos local. Gana un salario fijo por hora, pero puede ganar un bono por vender garantías para los computadores. Paul trabaja 20 horas semanales. En su primera semana, vendió ocho garantías y ganó $220. En su segunda semana, pudo vender 13 garantías y ganó $280. ¿Cuánto gana Paul por hora y cuánto dinero extra gana por vender cada garantía?

Repaso mixto

Baxter, el perro de raza golden retriever, está tomando sol y proyecta una sombra de 3 pies. La casa de perro que está a su lado mide 3 pies de alto y proyecta una sombra de 8 pies. ¿Cuál es la altura de Baxter?
Un botánico observaba el crecimiento de un lirio. A las 3 semanas, el lirio mide 4 pulgadas de alto. Cuatro semanas después, el lirio mide 21 pulgadas de alto. Considerando que esta relación es lineal:
1. escribe una ecuación para mostrar el patrón de crecimiento de esta flor.
2. ¿qué tan alto era el lirio en la marca de la semana 5,5?
3. ¿existe una restricción para el crecimiento de la flor? ¿Representa lo anterior tu ecuación?
La "Ola" es un pasatiempo emocionante en los juegos de fútbol. Como preparación, los estudiantes de la clase de matemáticas tomaron los datos de la siguiente tabla.
1. Encuentra una ecuación de regresión lineal para estos datos. Utiliza este modelo para estimar los segundos que le tomará a 18 estudiantes completar una vuelta de la ola.
2. Utiliza el método de interpolación para determinar la cantidad de tiempo que le tomaría a 18 estudiantes completar la ola.

$& s \ (\text{number of students in wave})&& 4 && 8 && 12 && 16 && 20 && 24 && 28 && 30\\\& t \ (\text{time in seconds to complete on full round}) && 2 && 3.2 && 4 && 5.6 && 7 && 7.9 && 8.6 && 9.1$

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