Resolución de sistemas lineales mediante la multiplicación

En esta Sección, aprenderás a multiplicar por escalares con el fin de usar el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Imagina que quieres comprar algunos peces olomina y arcoíris para su acuario. Si compras 10 olominas y 15 peces arcoíris, te saldrá $90 y si compras 15 olominas y 10 peces arcoíris, te costará $85. ¿Cuánto cuesta cada olomina y pez arcoíris? ¿Puedes establecer un sistema de ecuaciones para averiguarlo? ¿Cómo lo resolverías? En esta Sección, aprenderás acerca de resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la multiplicación para que puedas encontrar la solución de este tipo de problemas.

Orientación

La Sección anterior proporcionó tres métodos para resolver sistemas: graficación, sustitución e eliminación mediante la suma y resta. Como se enunció en cada Sección, estos métodos tienen fortalezas y debilidades. A continuación encontrarás un resumen.

Graficación

$\checkmark$ Una buena técnica para visualizar las ecuaciones y para cuando ambas ecuaciones tienen la forma pendiente-intercepto.

" Resolver un sistema a través de un gráfico generalmente es impreciso y no entregará una solución exacta.

Sustitución

$\checkmark$ Funciona especialmente bien cuando una ecuación está en su forma general y la segunda ecuación tiene la forma pendiente-intercepto.

$\checkmark$ Da respuestas exactas.

" Puede ser difícil usar el método de sustitución cuando ambas ecuaciones están en la forma general.

Eliminación por suma o resta

$\checkmark$ Funciona bien cuando ambas ecuaciones están en la forma general y los coeficientes de una variable son inversos aditivos.

$\checkmark$ Las respuestas serán exactas.

Puede ser difícil de usar si una ecuación está en la forma general y la otra tiene la forma pendiente-intercepto.
La suma o la resta no resulta si los coeficientes de una variable no son inversos aditivos.

Pese a que la eliminación solamente por suma o sustracción no funciona sin inversos aditivos, puedes usar la propiedad multiplicativa de la igualdad y la propiedad distributiva para crear inversos aditivos.

Propiedad multiplicativa y propiedad distributiva:

Si $ax+by=c$ , entonces $m(ax+by)=m(c)$ y $m(ax+by)=m(c)\rightarrow(am)x+(bm)y=mc$

Si bien este cuadro de definición puede parecer complicado, lo que realmente dice es que puedes multiplicar la ecuación entera por un valor específico y luego usar la propiedad distributiva para simplificar. El valor por el que estás multiplicando es llamado escalar .

Ejemplo A

Resuelve el sistema $\begin{cases}7x+4y=12\\\5x-2y=11 \end{cases}$ .

Solución: ninguna variable tiene coeficientes que sean inversos aditivos. Por lo tanto, sumar o restar simplemente las dos ecuaciones no cancelará ninguna variable. Sin embargo, existe una relación entre los coeficientes de la variable $y-$ .

$4 \ is \ the \ additive \ inverse \ of-2 \times (2)$ .

Multiplicando la segunda ecuación por el escalar 2, crearás inversos aditivos de $y$ . Entonces puedes sumar las ecuaciones.

$\begin{cases}7x+4y=12\\\2(5x-2y=11) \end{cases} & \rightarrow \quad \begin{cases}7x+4y=12\\\10x-4y=22 \end{cases}$

$\text{Add the two equations.} && 17x&=34\\\\text{Divide by} \ 17. && x&=2$

Para encontrar el valor de $y-$ utiliza la propiedad de sustitución en cualquiera de las ecuaciones.

$7(2)+4y&=12\\\14+4y&=12\\\4y&=-2\\\y&=-\frac{1}{2}$

La solución para este sistema es $\left ( 2, -\frac{1}{2} \right )$ .

Ejemplo B

Resuelve el sistema $\begin{cases}3x+4y=-25\\\2x-3y=6 \end{cases}$ .

Solución:

No sólo las varaibles no tienen coeficientes que sean inversos aditivos, si no que tampoco existe una relación entre los coeficientes de cada variable. En otras palabras, los coeficientes de cada variable no tienen ningún factor común. Por lo tanto, podemos intentar eliminar cualquiera de las variables primero. Te mostraremos cómo resolver este problema eliminando $x$ .

Para que $x$ tenga el mismo coeficiente en cada ecuación, debemos multiplicar una ecuación por el coeficiente de $x$ en la otra ecuación. Debemos multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda por 3. Si convertimos uno de esos números a negativo, podemos fácilmente eliminar $x$ . No importa qué número convirtamos en negativo:

$\begin{cases}2(3x+4y=-25)\\\-3(2x-3y=6) \end{cases} & \rightarrow \quad \begin{cases}6x+8y=-50\\\-6x+9y=-18 \end{cases}$

$\text{Add the two equations.} && 17y&=68\\\\text{Divide by} \ 17. && y&=-4$

Utiliza la propiedad de sustitución en cualquier ecuación para encontrar el valor de $x-$ .

$2x-3(-4)&=6\\\2x+12&=6\\\2x&=-6\\\x&=-3$

La solución para este sistema es $(-3,-4)$ .

Ejemplo C

Tanto Andrew como Anne usan la compañía de arriendo de camiones I-Haul para cambiarse desde su casa a los dormitorios de la Universidad de Chicago. I-Haul cobra por día y además por las millas recorridas. Andrew viaja desde San Diego, California, una distancia de 2.060 millas en cinco días. Anne viaja 880 millas desde Norfolk, Virginia, y demora 3 días. Si Anne paga $840 y Andrew paga $1.845,00 ¿cuánto cobra I-Haul:

a) por día?

b) por milla viajada?

Solución: comienza por escribir un sistema de ecuaciones lineales, uno para representar el caso de Anne y otro para el de Andrew. Deja $x=$ cantidad que se cobra por día y $y=$ cantidad que se cobra por milla .

$\begin{cases}3x+880y=840\\\5x+2060y=1845 \end{cases}$

No se ve una relación entre los coeficientes de las variables. En vez de multiplicar una ecuación por un escalar, debemos multiplicar ambas ecuaciones por el mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo es el valor más pequeño que es divisible por dos o más cantidades sin que quede resto .

Imagina que queremos eliminar la variable porque los números son muy pequeños para trabajar con ellos. Los coeficientes de $x$ deben ser inversos aditivos del mínimo común multiplo. .

$LCM \ of \ 3 \ and \ 5=15$

$\begin{cases}-5(3x+880y=840)\\\3(5x+2060y=1845) \end{cases} & \rightarrow \quad \begin{cases}-15x-4400y=-4200\\\15x+6180y=5535 \end{cases}$

$&\text{Adding the two equations yields:} && 1780y =1335\\\&\text{Divide by} 1780: && \qquad \quad \ y=0.75$

La compañía cobra $0,75 por milla.

Para encontrar la cantidad que se cobra por día, usa la propiedad de sustitución en cualquiera de las ecuaciones.

$5x+2060(0.75)&=1845\\\5x+1545&=1845\\\5x+1545-1545&=1845-1545\\\5x&=300\\\x&=60$

I-Haul cobra $60,00 por día y $0,75 por milla.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Resuelve el sistema $\begin{cases}4x+7y=6\\\6x+5y=20 \end{cases}$ .

Solución:

Ni $x$ ni $y$ tienen coeficientes que sean inversos aditivos, pero las variables $x$ -comparten el factor común 2. De esta forma podemos eliminar $x$ más fácilmente.

Para que $x$ tenga el mismo coeficiente en cada ecuación, por el factor que no se comparte en el coeficiente de $x$ en la otra ecuación. Debemos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda, por 2, convirtiendo también una de ellas en negativo:

$\begin{cases}3(4x+7y=6)\\\-2(6x+5y=20) \end{cases} & \rightarrow \quad \begin{cases}12x+21y=18\\\-12x-10y=-40\end{cases}$

$\text{Add the two equations.} && 11y&=-22\\\\text{Divide by} \ 11. && y&=-2$

Para encontrar el valor de $x-$ utiliza la propiedad de sustitución en cualquiera de las ecuaciones

$4x+7(2)&=6\\\4x+14&=6\\\4x&=-8\\\x&=-2$

La solución para este sistema es $(-2,-2)$ .

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Solving Linear Systems by Multiplication (12:00)

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

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Encuentra el mínimo común múltiplo de los valores dados.

5 y 7
–11 y 6
15 y 8
7 y 12
2 y 17
–3 y 6
6 y $\frac{1}{3}$
3 y 111
9 y 14
5 y –5

Haz una lista del escalar que se necesita para crear el inverso aditivo.

____multiplicado por 6 para crear el inverso aditivo de 12.
____multiplicado por 5 para crear el inverso aditivo de 35.
____multiplicado por –10 para crear el inverso aditivo de 80.
____multiplicado por –7 para crear el inverso aditivo de 63.
¿Por qué número podrías multiplicar 11 para crear el inverso aditivo de 121?
¿Por qué escalar podrías multiplicar 4 para crear el inverso aditivo de -16?

Resuelve los siguientes sistemas utilizando la multiplicación.

$&5x-10y=15\\\&3x-2y=3$
$&5x-y=10\\\&3x-2y=-1$
$&5x+7y=15\\\&7x-3y=5$
$&9x+5y=9\\\&12x+8y=12.8$
$&4x-3y=1\\\&3x-4y=4$
$&7x-3y=-3\\\&6x+4y=3$

En los ejercicios 23 - 28, resuelve los sistemas utilizando cualquier método.

$& x=3y\\\& x-2y=-3$
$& y=3x+2\\\& y=-2x+7$
$&5x-5y=5\\\&5x+5y=35$
$& y=-3x-3\\\&3x-2y+12=0$
$&3x-4y=3\\\&4y+5x=10$
$&9x-2y=-4\\\&2x-6y=1$
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Prueba rápida

¿Es (-3, -5) una solución para el sistema $\begin{cases}-3y=3x+6\\\y=-3x+4 \end{cases}$ ?
Resuelve el sistema: $\begin{cases}y=6x+17\\\y=7x+20 \end{cases}$ .
Tanto Joann como Phyllis mejoraron sus jardines plantando margaritas y claveles. Joann compró 10 margaritas y 4 claveles y pagó $52,66. Phyllis compró 3 margaritas y 6 claveles y pagó $43,11. ¿Cuánto vale cada margarita? ¿Cuánto vale cada clavel?
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