Sistemas lineales consistentes e inconsistentes

En esta Sección, aprenderás a decidir si un sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o consistente y dependiente.

En economía, una recta que representa la oferta y una recta que representa la demanda generalmente son graficadas en el mismo plano cartesiano y se intersecan en un punto. ¿Cuántas soluciones tiene este sistema de ecuaciones lineales? ¿Es el sistema consistente, inconsistente o consistente y dependiente? Después de terminar esta Sección, podrás identificar cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones y podrás clasificar el sistema en la categoría correspondiente.

Orientación

Los sistemas pueden tener varios tipos de soluciones:

Una solución
Dos o más soluciones
Sin soluciones
Un número infinito de soluciones

Sistemas inconsistentes

Esta Sección se enfocará en las últimas dos situaciones: sistemas que no tienen soluciones o sistemas con una cantidad infinita de soluciones.

Un sistema con rectas paralelas no tendrá soluciones .

Recuerda que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Cuando sean graficadas, las rectas tendrán la misma inclinación con diferentes interceptos en $y-$ Por lo tanto, las rectas paralelas nunca se intersecarán, así que no tendrán solución.

Ejemplo A

Algebraicamente, un sistema que no tiene soluciones luce de esta manera cuando es resuelto.

$\begin{cases}4y=5-3x\\\6x+8y=7 \end{cases}$

La primera ecuación en este sistema "casi" tiene despejada $y$ . La sustitución sería un método apropiado para resolver este sistema.

$\begin{cases}4y=5-3x\\\6x+8y=7 \end{cases} \rightarrow \quad \begin{cases}y=\frac{5}{4}-\frac{3}{4} x\\6x+8y=7 \end{cases}$

Utiliza la propiedad de sustitución para reemplazar la variabe $y-$ en la segunda ecuación por su expresión algebraica en la ecuación #1.

$&&6x+8\left ( \frac{5}{4}-\frac{3}{4} x \right )&=7\\\\text{Apply the Distributive Property.} && 6x+10-6x&=7\\\\text{Add like terms.} && 10&=7$

Resolviste la ecuación correctamente, pero aún así la respuesta no tiene sentido.

Cuando se resuelve un sistema de rectas paralelas, la ecuación final no será verdadera.

Debido a que $10 \neq 7$ y has sacado los cálculos correctamente, puedes decir que este sistema "no tiene soluciones".

A un sistema que no tiene soluciones se le llama sistema inconsistente. .

Sistemas consistentes

Los sistemas consistentes, por otro lado, tienen al menos una solución. Esto significa que las rectas se intersectan al menos una vez. Existen tres casos de sistemas consistentes:

Una intersección, como generalmente se hace en las Secciones de sistemas lineales.
Dos o más intersecciones, como se puede ver cuando una ecuación de segundo grado interseca una ecuación lineal.
Muchas intersecciones infinitas, como ocurre con las rectas coincidentes.

Las rectas coincidentes son rectas con la misma pendiente e intercepto en $y-$ Las rectas se sobreponen completamente.

Cuando se resuelve un sistema consistente que involucra rectas coincidentes, la solución tiene el siguiente resultado.

$\begin{cases}x+y=3\\\3x+3y=9 \end{cases}$

Multiplica la primera ecuación por –3: $\begin{cases}-3(x+y=3)\\\3x+3y=9\end{cases} \rightarrow \quad \begin{cases}-3x-3y=-9\\\3x+3y=9 \end{cases}$

Suma las ecuaciones.

$0=0$

No quedan variables y tú SABES que hiciste los cálculos correctamente. Sin embargo, éste es un enunciado verdadero.

Cuando se resuelve un sistema de rectas coincidentes, la ecuación que resulta no tendrá variables y el enunciado será verdadero . Se puede concluir que el sistema tiene un número infinito de soluciones . A esto se le llama sistema consistente y dependiente. .

Ejemplo B

Identifica el sistema como consistente, inconsistente o consistente y dependiente. .

$3x-2y&=4\\\9x-6y&=1$

Solución: debido a que ambas ecuaciones se encuentran en la forma general, la eliminación es el mejor método para resolver este sistema.

Multiplica la primera ecuación por 3.

$3(3x-2y=4)&&9x-6y=12\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow & \qquad\\\9x-6y=1&&9x-6y=1$

Resta las dos ecuaciones.

$& \ \ 9x-6y=12\\\& \underline{\;\; 9x-6y=1 \;\;}\\\& \qquad \quad \ 0=11 \quad \text{This Statement is not true.}$

Este es un enunciado no verdadero; por lo tanto, puedes sacar las siguientes conclusiones:

Estas rectas son paralelas.
El sistema no tiene solución.
El sistema es inconsistente.

Ejemplo C

Dos tiendas de arriendo de películas están compitiendo. La tienda Movie House cobra una membresía de $30 y $3 por película arrendada. La tienda Flicks for Cheap cobra una membresía de $15 y $3 por película arrendada. ¿Después de cuántos arriendos de películas la tienda Movie House sería la mejor opción?

Solución: ya debería tener claro que la tienda Movie House nunca será la mejor opción debido a que su membresía es más cara y cobra lo mismo por película que Flicks for Cheap.

Las rectas que describen cada opción tienen diferentes interceptos en $y-$ es decir, 30 para la tienda Movie House y 15 para la tienda Flicks for Cheap. Tienen la misma pendiente, tres dólares por película. Esto significa que las rectas son paralelas y el sistema es inconsistente.

Veamos cómo funciona lo anterior de manera algebraica.

Define las variables: deja que $x=$ número de películas arrendadas e $y=$ el costo de arriendo total.

$\begin{cases}y=30+3x\\\y=15+3x \end{cases}$

Debido a que ambas ecuaciones tienen la forma pendiente-intercepto, resuelve este sistema sustituyendo la segunda ecución en la primera ecuación.

$15+3x=30+3x\Rightarrow15=30$

Este enunciado siempre es falso. Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene soluciones.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Determina cuándo los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tienen cero, una o infinitamente varias soluciones:

$\begin{cases}2y+6x=20\\\y=-3x+7 \end{cases}$

¿Qué tipo de sistema es este?

Solución:

Es más fácil comparar ecuaciones cuando están en la misma forma. Reescribiremos la primera ecuación en la forma pendiente-intercepto.

$2y+6x=20 \Rightarrow y+3x=10 \Rightarrow y=-3x+10$

Debido a que dos ecuaciones tienen la misma pendiente, pero diferentes interceptos en $y$ éstas son rectas diferentes pero paralelas. Las rectas paralelas nunca se intersecan, por lo que no habrán soluciones.

Debido a que las rectas son paralelas, éste es un sistema inconsistente.

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Special Types of Linear Systems (15:18)

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Define un sistema inconsistente . ¿Qué es cierto acerca de estos sistemas?
¿Cuáles son los tres tipos de sistemas consistentes?
Graficas un sistema y puedes ver sólo una recta. ¿Qué conclusiones puedes sacar?
Graficas un sistemas y observas que las rectas se intersecan en un punto. ¿Qué conclusiones puedes sacar?
Las rectas que graficaste parecen ser paralelas. ¿Cómo puedes verificar que el sistema no tendrá soluciones?
Graficas un sistema y obtienes el siguiente gráfico. ¿Es el sistema consistente o inconsistente? ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

En los ejercicios 7 - 24, encuentra la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método que prefieras. Por favor, señala si el sistema es inconsistente, consistente o consistente y dependiente.

$&3x-4y=13\\\& y=-3x-7$
$&4x+y=3\\\&12x+3y=9$
$&10x-3y=3\\\&2x+y=9$
$&2x-5y=2\\\&4x+y=5$
$&\frac{3x}{5}+y=3\\\&1.2x+2y=6$
$&3x-4y=13\\\& y=-3x-7$
$&3x-3y=3\\\& x-y=1$
$&0.5x-y=30\\\&0.5x-y=-30$
$&4x-2y=-2\\\&3x+2y=-12$
$&3x+2y=4\\\&-2x+2y=24$
$&5x-2y=3\\\&2x-3y=10$
$&3x-4y=13\\\& y=-3x-y$
$&5x-4y=1\\\&-10x+8y=-30$
$&4x+5y=0\\\&3x=6y+4.5$
$&-2y+4x=8\\\& y-2x=-4$
$& x-\frac{y}{2}=\frac{3}{2}\\\&3x+y=6$
$&0.05x+0.25y=6\\\& x+y=24$
$& x+\frac{2y}{3}=6\\\&3x+2y=2$
Peter compra dos manzanas y tres plátanos por $4. Nadia compra cuatro manzanas y seis plátanos por $8 en el mismo negocio. ¿Cuánto cuesta un plátano y una manzana?
Una tienda de arriendo de películas, CineStar, ofrece a sus clientes dos opciones. Los clientes pueden pagar una membresía anual de $45 y luego arrendar cada película por $2 o pueden escoger no pagar la membresía y arrendar cada película por $3,50. ¿Cuántas películas tendrías que arrendar antes de que ser miembro se convierta en la opción más barata?
Un cine cobra $4,50 por la entrada de niños y $8,00 por la entrada de adultos. En un día en particular, 1200 personas fueron al cine y se recaudó $8.375. ¿Cuántos niños y cuántos adultos fueron al cine?
Andrew pidió dos órdenes en una tienda de ropa por internet.La primera orden fue por 13 corbatas y cuatro pares de tirantes para pantalones; en total pagó $487. La segunda orden fue de seis corbatas y dos pares de tirantes para pantalones; en total pagó $232. La boleta no tiene un listado con los productos y sus precios, pero todas las corbatas tienen el mismo precio y los tirantes también. ¿Cuál es el costo de una corbata y un par de tirantes para pantalones?
Un avión demoró cuatro horas en volar 2400 millas en dirección de la corriente en chorro. El viaje de regreso contra la corriente en chorro le tomó cinco horas. ¿Cuál es la velocidad del avión sin estar en la corriente y la velocidad de éste en la corriente en chorro?
Nadia le dijo a Peter que ella había ido al mercado agrícola, que compró dos manzanas y un plátano y que gastó $2,50. Ella pensó que Peter podría querer algunas frutas por lo que volvió con el vendedor y compró cuatro manzanas y dos plátanos más. Peter le agradeció a Nadia, pero le dijo que a él no le gustaban los plátanos así que le pagaría sólo las cuatro manzanas. Nadia le dijo que en la segunda ocasión ella pagó $6,00 por la fruta. Por favor, ayuda a Peter a averiguar cuánto debe pagarle a Nadia por las cuatro manzanas.

Repaso mixto

Un estadio de fútbol vende entradas para asientos fijos y para asientos plegables. Hay doce veces más asientos fijos que asientos plegables. La capacidad total del estadio es 10.413. ¿Cuántos asientos plegables hay en el estadio? ¿Cuántos asientos fijos hay?
Encuentra la ecuación para la recta perpendicular a $y=-\frac{3}{5} x-8.5$ que contiene el punto (2, 7).
Escribe la ecuación en la forma general: $y=\frac{1}{6} x-4$ .
Resuelve la suma: $7 \frac{2}{3}+\frac{4}{5}$ .
Divide: $\frac{7}{8} \div -\frac{2}{3}$ .
¿Es el producto de dos números racionales siempre un número racional? Explica tu respuesta.

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