Programación lineal

En esta Sección, aprenderás a resolver problemas de inecuaciones lineales utilizando la programación lineal.

Imagina que un artesano puede hacer pulseras y collares. Una pulsera requiere de 10 cuentas y demora 10 minutos confeccionarla, mientras que un collar requiere de 20 cuentas y 40 minutos para hacerlo. El artesano tiene 1000 cuentas y 1600 minutos para trabajar. Si una pulsera cuesta $5 y un collar cuesta $7,50, ¿cuál es el ingreso máximo que el artesano puede recaudar? ¿Cómo lo sabes? En esta Sección, utilizarás sistemas de inecuaciones lineales y programación lineal para resolver problemas como éste.

Orientación

Sistemas de inecuaciones lineales

Esta lección aborda el concepto de sistemas de inecuaciones lineales. En las Secciones anteriores, aprendiste a graficar una inecuación lineal con dos variables.

Paso 1: grafica la ecuación usando el método más adecuado.

En la forma pendiente-intercepto se utiliza el intercepto en $y-$ y la pendiente para encontrar la recta.
En la forma general se usan los interceptos para graficar la recta.
En la forma punto-pendiente se utiliza la pendiente para graficar la recta.

Paso 2: si el símbolo de igualdad no está incluído dibuja una línea discontinua. Dibuja una línea continua si el símbolo de igualdad está incluído.

Paso 3: ensombrece el semiplano que está sobre la recta si la desigualdad es "mayor que". Ensombrece el semiplano bajo la recta si la desigualdad es "menor que".

En esta Sección, aprenderemos a graficar dos o más inecuaciones lineales en el mismo plano cartesiano. Las inecuaciones son graficadas por separado en el mismo gráfico y la solución para el sistema de inecuaciones es la región sombreada que tienen en común todas las inecuaciones en el sistema.

La región sombreada que tienen en común las inecuaciones del sistema se llama región factible. .

Ejemplo A

Resuelve el sistema de inecuaciones $\begin{cases}2x+3y\le18\\\x-4y\le12 \end{cases}$ .

Solución:

La primera ecuación está escrita en la forma general y puede ser graficada usando sus interceptos. La recta es continua debido a que está presente el símbolo igual en la desigualdad. Debido a que la desigualdad es menor que, ensombrece el semiplano bajo la recta.

La segunda ecuación es un poco complicada. Reescribe la ecuación en la forma pendiente-intercepto para graficar.

$&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \\\&-4y \le -x+12 && y \ge \frac{x}{4}-3$

TLa división por -4 provoca que la desigualdad se revierta. Nuevamente la recta es continua debido a que está presente el símbolo igual en la desigualdad. Ensombrece el semiplano que está sobre la recta divisoria porque $y$ es mayor que o igual.

Cuando combinamos los gráficos, vemos que la región azul y roja se sobreponen; esta sobreposición es donde ambas inecuaciones funcionan. Entonces la región de color violeta denota la solución del sistema, la región factible. .

El tipo de solución que se muestra en este ejemplo se llama no acotada , ya que continúa para siempre en al menos una dirección (en este caso, siempre hacia arriba y hacia la izquierda)

Las regiones acotadas aparecen cuando se grafican más de dos inecuaciones en el mismo plano cartesiano, como podrás ver en el ejemplo C.

Escritura de sistemas de inecuaciones lineales

En algunos casos, se te proporciona la región factible y se te pide escribir el sistema de inecuaciones. Para hacerlo, se trabaja en el orden inverso de la representación gráfica.

Escribe la ecuación para la recta divisoria.
Determina si el símbolo debería incluir "o igual a".
Determina qué semiplano está ensombrecido.
Repite el procediemiento con cada recta divisoria en la región factible.

Ejemplo B

Escribe el sistema de inecuaciones que se muestra acontinuación. .

Solución:

Existen dos rectas divisorias, así que hay dos inecuaciones. Escribe cada inecuación en la forma pendiente-intercepto.

$y & \le \frac{1}{4} x + 7\\\y & \ge -\frac{5}{2} x - 5$

Programación lineal - Sistemas de inecuaciones lineales en la vida cotidiana

Carreras enteras se dedican a utilizar sistemas de inecuaciones para garantizar que una empresa está obteniendo el máximo de beneficio, producciendo la combinación correcta de productos o gastanto la menor cantidad de dinero para fabricar ciertos productos. La programación lineal es el proceso matemático que consiste en analizar un sistema de inecuaciones para tomar la mejor decisión considerando las restricciones de la situación.

Las restricciones son limitaciones específicas de una situación debido al tiempo, dinero o materiales.

El objetivo es localizar la región factible del sistema y usarla para responder una pregunta de rendimiento u optimización .

Teorema: los valores máximos o mínimos de una ecuación de optimización son los vértices de una región factible - los puntos donde las rectas divisorias se intersectan.

Este teorema proporciona información importante. Mientras que los colores individuales de las inecuaciones se sobrepondrán, proporcionando una cantidad infinita de combinaciones posibles, sólo los vértices entregarán las soluciones máximas (o mínimas) para la ecuación de optimización.

Volvamos a la situación presentada al comienzo de este capítulo.

Ejemplo C

James está intentando expandir el negocio de su pastelería con el fin de incluir cupcakes y pasteles individuales. Tiene 40 horas disponibles para decorar los nuevos productos y no puede usar más de 22 libras de mezcla. Cada pastel individual necesita 2 libras de mezcla y 2 horas para ser decorado. Cada cupcake necesita una libra de mezcla y 4 horas para ser decorado. Si James puede vender cada pastel individual por $14,99 y cada cupcake por $16,99, ¿cuántos pasteles individuales y cupcakes debería James hacer para obtener el máximo de ingresos?

Esta situación tiene cuatro inecuaciones. Primero, establece las variables. Deja que $p=$ el número de pasteles individuales y $c=$ el número de cupcakes .

Traduce lo anterior a un sistema de inecuaciones.

$2p+1c \le 22$ – Esta es la cantidad de mezcla disponible.

$2p+4c \le 40$ – Éste es el tiempo disponible para decorar.

$p \ge 0$ – No puedes hacer una cantidad negativa de pasteles individuales.

$c \ge 0$ – No puedes hacer una cantidad negativa de cupcakes.

Ahora grafica cada inecuación y determina la región factible.

La región factible tiene cuatro vértices: {(0, 0),(0, 10),(11, 0),(8, 6)}. De acuerdo con nuestro teorema, la respuesta de optimización sólo estará presente en uno de estos vértices.

Escribe una ecuación de optimización. ¿Cuánto de cada tipo de pedido debería hacer James para obtener el máximo de ingresos?

$14.99p+16.99c=maximum \ revenue$

Sustituye cada par ordenado para determinar cuál pedido produce el máximo de dinero.

$(0,0) & \rightarrow \$0.00\\\(0,10) & \rightarrow 14.99(0)+16.99(10)=\$169.90\\\(11,0) &\rightarrow 14.99(11)+16.99(0)=\$164.89\\\(8,6) & \rightarrow 14.99(8)+16.99(6)=\$221.86$

Para producir la mayor cantidad de ingresos, James deberá hacer 8 pasteles individuales y 6 cupcakes.

Para obtener más ayuda con la aplicación de sistemas de inecuaciones, mira el siguiente video hecho por PH School http://www.phschool.com/atschool/academy123/english/academy123_content/wl-book-demo/ph-240s.html - PH School.

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

Encuentra el conjunto solución del siguiente sistema.

$y & > 3x-4\\\y & < -\frac{9}{4}x+2\\\x & \ge 0\\\y & \ge 0$

Solución:

Grafica cada recta y ensombrece la región correspondiente.

$y > 3x-4$

$y < - \frac{9}{4}x+2$

Finalmente, graficamos $x \ge 0$ e $y \ge 0$ , y la región de intersección se muestra en la siguiente imagen.

Práctica

El siguiente vídeo muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Systems of Linear Inequalities (8:52)

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

¿Qué es programación lineal ?
¿Cuál es la región factible de un sistema de inecuaciones?
¿Cómo afectan las restricciones a la región factible?
¿Qué es una ecuación de optimización? ¿Cuál es su propósito?
Has graficado una región factible. ¿Dónde están ubicados los puntos máximos (o mínimos) de la ecuación de optimización?

Encuentra la región de solución de los siguientes sistemas de inecuaciones.

$&4y-5x<8\\\&-5x\ge16-8y$
$&5x-y \ge5\\\&2y-x \ge -10$
$&2x-3y \le 21\\\& x+4y \le 6\\\&3x+y \ge -4$
$\begin{cases}y\ge\frac{1}{4} x-3\\\y<\frac{13}{8} x+8 \end{cases}$
$\begin{cases}y\le\frac{3}{4} x-5\\\y\ge -2x+2 \end{cases}$
$\begin{cases}y>-x+1\\\y>\frac{1}{4} x+6 \end{cases}$
$\begin{cases}y>-\frac{1}{2} x+4\\\x<-4 \end{cases}$
$\begin{cases}y\le6\\\y>\frac{1}{4} x+6 \end{cases}$

Escribe el sistema de inecuaciones para cada región factible que se ilustra a continuación.

Según las siguientes restricciones, encuentra los valores máximos y mínimos para:

$& z=-x+5y\\\& x+3y \le 0\\\& x-y \ge 0\\\&3x-7y \le 16$
Encuentra los valores máximos y mínimos de $z=2x+5y$ que están sujetos a estas restricciones . $2x-y & \le 12\\\4x+3y & \ge 0\\\x-y & \le 6$
En la tienda de muebles Andrew's Furniture Shop, Andrew arma tanto las estanterías como los muebles de televisión. Le toma la misma cantidad de tiempo armar cada tipo de mueble. Él deduce que tiene tiempo para hacer como máximo 18 muebles hasta el sábado. Los materiales para cada estantería le cuestan $20,00 y los materiales para cada mueble de televisión le cuestan $45,00; tiene $600,00 para gastar en materiales. Andrew gana $60,00 por cada estante y $100,00 por cada mueble de televisión. Encuentra cuántos muebles Andrew debería hacer para que obtenga el máximo de ganancias.
Tienes $10.000 para invertir y tres fondos diferentes para escoger. El fondo de bonos municipales tiene un retorno de 5%, los certificados de depósito del banco local tienen un 7% de retorno y una cuenta de alto riesgo tiene un retorno esperado de 10%. Para minimizar el riesgo, decides no invertir más de $1.000 en la cuenta de alto riesgo. Por razones fiscales, debes invertir al menos tres veces más en los bonos municipales que en los certificados de cuentas del banco. Suponiendo que los rendimientos de fin de año son los esperados, ¿cuáles son las cantidades de inversión óptimas?

Repaso mixto

Resuelve mediante el método de eliminación: $\begin{cases}12x+8y=24\\\-6x+3y=9 \end{cases}$ .
Resuelve $36=|5t-6|$ .
Determina los interceptos de $y=-\frac{5}{6} x-3$ .
La tía de Jerry repara tapicería. Por tres horas de trabajo, ella cobra $145 y por nueves horas de trabajo, $355. Suponiendo que esta relación es lineal, escribe la ecuación para esta recta en la forma punto-pendiente. ¿Cuánto cobraría la tía de Jerry por 1,25 horas de trabajo?
Traduce a una oración algebraica: "Yoder es cuatro años menor que Kate. Kate es seis años menor que Dylan. Dylan tiene 20". ¿Qué edad tiene cada persona?

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