Probabilidad y permutaciones

En esta Seccion, aprenderás a encontrar el número de permutaciones en una situación dada y a utilizar este número en cálculos de probabilidad.

Imagina que hay 15 personas en una reunión y una de ellas será el organizador, mientras que otra será el secretario. ¿De cuántas formas diferentes se puede escoger el organizador y el secretario? ¿Qué fórmula crees que puedes usar para responder esta pregunta? Si el organizador y el secretario fueran escogidos al azar, ¿podrías determinar la probabilidad de cualquier pareja en particular? En esta Sección, aprenderás a trabajar con permutaciones y probabilidad con el fin de que puedas manejar situaciones como ésta.

Orientación

¡Felicitaciones! Has ganado un viaje a Europa. En tu viaje, tienes la oportunidad de visitar 6 ciudades diferentes y de planificar tú mismo estas vacaciones. ¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar tu viaje? ¡La respuesta puede sorprenderte!

Este es un ejemplo de una permutación. .

Una permutación es una disposición de elementos en un orden específico. Es el producto de números contables desde 1 hasta $n$ .

$n!=n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot 1$

¿De cuántas formas puedes visitar las ciudades europeas? Existen 6 opciones para la primera visita. Una vez que has visitado esta ciudad no puedes volver, por lo que quedan 5 opciones para la segunda visita y así sucesivamente.

$\underline{6} \cdot \underline{5} \cdot \underline{4} \cdot \underline{3} \cdot \underline{2} \cdot \underline{1}=720$

¡Hay 720 maneras diferentes de planear tus vacaciones europeas!

Una permutación de $n$ elementos tomados $k$ a la vez se expresa como $_n P_k$ .

$_n P_k =\frac{n!}{(n-k)!}$

Ejemplo A

Evalúa $_6P_3$ .

Solución:

Esta ecuación te pregunta, "¿de cuántas maneras se pueden escoger 6 objetos tomando 3 a la vez?"

Existen 6 formas de escoger el primer objeto, 5 formas de escoger el segundo objeto y 4 formas de escoger el tercer objeto.

$\underline{6} \cdot \underline{5} \cdot \underline{4}=120$

Hay 120 maneras diferentes de escoger 6 objetos tomando 3 a la vez.

El Ejemplo A también se puede escribir utilizando la fórmula de permutación: $_6P_3=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=6 \cdot 5 \cdot 4=120$ .

Permutaciones y calculadoras gráficas

La mayoría de las calculadoras gráficas pueden calcular una permutación.

Ejemplo B

Evalúa $_6P_3$ utilizando una calculadora gráfica.

Solución:

Ingresa el primer valor de la permutación, la $n$ . Presiona la tecla [MATH] que se encuentra justo debajo de la tecla: [ALPHA] Mueve el cursor una vez hacia la izquierda para que veas la siguiente pantalla:

La opción #2 corresponde a la permutación. Presiona [ENTER] ] y luego el segundo valor de la permutación, el valor de $k$ . Presiona [ENTER] para evaluar.

Permutaciones y probabilidad

Ejemplo C

Las letras de la palabra HOSPITAL están dispuestas al azar. ¿Cuántas disposiciones diferentes se pueden formar? ¿Cuál es la probabilidad de que la última letra sea una vocal?

Existen ocho formas de escoger la primera letra, siete formas de escoger la segunda y así sucesivamente. La cantidad total de disposiciones es 8!= 40,320.

HOSPITAL tiene tres vocales; por lo tanto, hay tres posibilidades de que la última letra sea vocal. Una vez que se escoge esta letra, hay siete opciones para la primera letra, seis para la segunda y así sucesivamente.

$\underline{7} \cdot \underline{6} \cdot \underline{5} \cdot \underline{4} \cdot \underline{3} \cdot \underline{2} \cdot \underline{1} \cdot \underline{3}=15,120$

La probabilidad, como aprendiste en una sección anterior, tiene la fórmula:

$\text{Probability} \ (success) = \frac{number \ of \ ways \ to \ get \ success}{total \ number \ of \ possible \ outcomes}$

Existen 15.120 maneras de obtener una vocal como última letra; hay un total de 40.320 combinaciones.

$P(last \ letter \ is \ a \ vowel)=\frac{15,120}{40,320}=\frac{3}{8}$

Repaso en video

Haz clic sobre la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica guiada

1. Tienes 8 colores diferentes de esmalte para uñas. ¿De cuántas maneras puedes pintar cada una de las 5 uñas de tu mano con un color diferente?

2. Imagina que uno de los colores es violeta. ¿Cuál es la probabilidad de pintar tu pulgar violeta?

Solución:

1. Hay 8 colores para pintar, pero sólo usaras 5 de ellos para pintar tus uñas, lo que tiene un orden específico. Esto puede ser representado como $_8P_5$ . Se puede calcular si se considera que hay 8 opciones para la primera uña, 7 opciones para la segunda y así sucesivamente:

$_8P_5=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6,720$

2. El número de formas para pintar tus 5 uñas de colores diferentes, donde el pulgar sea violeta, se calcula de la siguiente forma:

$1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \cdot 4=840$

Práctica

Define permutación .

En los ejericios 2 – 19, evalúa cada permutación.

7!
10!
1!
5!
9!
3!
$4!+4!$
$16!-5!$
$\frac{98!}{96!}$
$\frac{11!}{2!}$
$\frac{301!}{300!}$
$\frac{8!}{3!}$
$2!+9!$
$_{11} P_2$
$_5P_5$
$_5P_3$
$_{15}P_{10}$
$_{60}P_{59}$
¿De cuántas formas se pueden organizar 14 libros en un estante?
¿Dé cuántas formas se pueden escoger 10 objetos tomando cuatro a la vez?
¿Dé cuántas formas se pueden escoger 21 objetos tomando 13 a la vez?
Una pista de atletismo tiene ocho carriles. ¿De cuántas maneras se pueden organizar 8 atletas para comenzar una carrera?
Doce caballos participan en una carrera.
1. ¿De cuántas maneras se puede ganar el primer y segundo lugar?
2. ¿De cuántas maneras pueden terminar la carrera todos los caballos?
Seis actores están esperando para presentarse en una audición. ¿De cuántas maneras puede el director escoger la agenda de audiciones?
Jerry, Kerry, Larry y Mary están esperando en la parada de autobús. ¿Cuál es la probabilidad de que Mary se suba al bus primero?
¿Cuántas permutaciones de las letras hay en lapalabra "HEART"?
¿Cuántas permutaciones de las letras hay en la palabra "AMAZING"?
Supón que quiero un cono de helado con tres sabores: chocolate, vainilla y Superman. ¿Cuántos conos de helados es posible formar con esos sabores en distintas posiciones? Si le digo al vendedor "sorpréndeme", ¿cuál es la probabilidad de que el sabor Superman esté en la parte superior del cono de helado?
¿Cuál es la probabilidad de que escogas dos cartas (sin reponer) desde un mazo de 52 cartas estándar y que ambas cartas sean jotas?
El comité de organizador del partido final Super Bowl tiene postulaciones de 9 ciudades para ser sede de las siguientes dos finales. ¿De cuántas maneras pueden elegir la ciudad que será sede si:
1. la ciudad no puede ser sede de un Super Bowl dos años consecutivos?
2. la ciudad puede ser sede de un Super Bowl dos años consecutivos?

Repaso mixto

Grafica la solución del siguiente sistema: $& 2x-3y > -9\\\& y<1$
Convierte 24 metros/minuto a pies/segundo .
Despeja $t: |t-6| \le -14$ .
Encuentra la distancia entre 6.15 y –9.86.
¿Cuál de los siguientes vértices proporciona el costo mínimo según la ecuación $12x+20y=cost: \ (3,6),(9,0),(6,2),(0,11)$ ?

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