Probabilidad y combinaciones

En esta Seccion, aprenderás a encontrar el número de combinaciones en una situación dada y a utilizar este número en cálculos de probabilidad.

Imagina que estás en un refugio de animales y quieres adoptar dos perros. Si puedes escoger entre 45 perros, ¿cuántas parejas diferentes de perros puedes adoptar? ¿Qué fórmula crees que podrías usar para calcular este número? Si los perros fueran escogidos al azar, ¿sería posible que encontraras la probabilidad de adoptar una pareja en particular? En esta Sección, aprenderás sobre combinaciones y probabilidad con el fin de que puedas responder este tipo de preguntas cuando aparezcan.

Orientación

Cuando no importa el orden de los elementos y/o los elementos se reponen, se forman , combinaciones.

Una combinación es una disposición de elementos sin un orden en particular.

Considera un sándwich con salame, jamón y pavo. El orden en que se ubican los fiambres no importa mientras estén en un sándwich.

Sólo existe una forma de apilar la carne en el sándwich cuando el orden no importa. Sin embargo, si el orden importara, hay 3 opciones para la primera carne, 2 para la segunda y una para la última opción: $\underline{3} \cdot \underline{2} \cdot \underline{1}=6$ .

$Combination \neq Permutation$

Una combinación de $n$ elementos tomando $k$ se expresa como is expressed as $_nC_k$ .

$_nC_k =\frac{n!}{k!(n-k)!}= \binom{n}{k}$

Esto se lee como “ $n$ tomando $k$ .”

Ejemplo A

¿De cuántas formas se pueden escoger 8 estudiantes de una clase con 21 alumnos?

Solución:

No importa cómo se escogen a los ocho estudiantes. Utiliza la fórmula para las combinaciones en vez de la fórmula para las permutaciones.

$=\frac{21!}{8!(21-8)!}= 203,490$

Existen 203.490 formas diferentes de escoger a ocho estudiantes de una clase de con 21.

Combinaciones en una calculadora gráfica

Al igual que con las permutaciones, la mayoría de las calculadoras gráficas tienen la capacidad de calcular combinaciones. En las calculadoras Texas Instrument, se utilizan estas instrucciones.

Ingresa la $n$ , o el total para escoger.
Escoge la tecla [MATH] que se encuentra justo debajo de la tecla [ALPHA] Mueve el cursor una vez hacia la izquierda para que veas la siguiente pantalla:

Escoge la opción #3, $_nC_r$ . Escribe el valor $k$ la cantidad que quieres escoger.

Ejemplo B

Evalúa $\binom{100}{4}$ utilizando una calculadora gráfica.

Solución:

Probabilidad y combinaciones

Las combinaciones se utilizan en probabilidad cuando hay que reponer elementos o cuando el orden no importa.

Ejemplo C

Imagina que tienes diez bolitas: cuatro azules y seis rojas. Escoges tres bolitas sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres bolitas sean azules?

$\text{Probability} \ (success) = \frac{number \ of \ ways \ to \ get \ success}{total \ number \ of \ possible \ outcomes}$

Existen $_4C_3$ formas de escoger bolitas azules. Hay $_{10}C_3$ de combinaciones totales.

$P(all \ 3 \ marbles \ are \ blue)= \frac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{4}{120}=\frac{1}{30}$

Existe aproximadamente un 3,33% de probabilidad de que las tres bolitas tomadas sean azules.

Repaso en video

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Práctica guiada

El Senado está conformado por 100 personas, dos por estados.

1. ¿Cuántos comités de cuatro personas diferentes se pueden formar?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité sólo tenga miembros de dos estados?

Solución:

1. En esta pregunta no importa cómo se escogen los miembros del comité; utilizaremos la fórmula para las combinaciones.

$\binom{100}{4}=\frac{100!}{4!(100-4)!}=3,921,225 \ ways$

¡Son muchas posibilidades!

2. Si solamente hay miembros de dos estados, eso signifca que dos personas son de un estado y dos son de otro. Este problema simplemente se trata de averiguar de cuántas formas puedes escoger 2 estados de 50.

$\binom{50}{2}=\frac{50!}{2!(50-2)!}=1,225 \ ways$

$P(\text{only two states represented})= \frac{1225}{3,921,225}=0.00031$

La probabilidad de que sólo dos estados estén representados en el comité es 0,031%, ¡lo que es una probabildiad muy pequeña!

Práctica

¿Qué es combinación ? ¿En qué se diferencia de una permutación?
¿De cuántas formas puedes escoger $k$ objetos dentro de $n$ posibilidades?
¿Por qué no se puede evaluar $_3C_9$ ?

En los ejercicios del 4 - 19, evalúa la combinación.

$\binom{12}{2}$
$\binom{8}{5}$
$\binom{5}{1}$
$\binom{3}{0}$
$\binom{9}{9}$
$\binom{9}{4}$
$\binom{20}{10}$
$\binom{19}{18}$
$\binom{20}{14}$
$\binom{13}{9}$
$_7C_3$
$_{11}C_5$
$_5C_4$
$_{13}C_9$
$_{20}C_5$
$_{15}C_{15}$
Tu mochila contiene 6 libros. Eliges dos al azar. ¿Cuántos pares diferentes de libros podrías escoger?
Siete personas salen a cenar. ¿De cuántas maneras pueden 4 personas pedir bistec, 2 personas pedir comida vegana y 1 persona pedir marisco?
Una pizzería tiene 10 ingredientes para elegir. ¿Cuántas pizzas de cuatro ingredientes se pueden hacer?
La heladería Gooies Ice Cream ofrece 28 sabores diferentes de helados. ¿Cuántos conos con dos sabores se pueden formar, dado que el orden no importa?
Un equipo de fútbol americano universitario participa en 14 juegos. ¿De cuántas maneras puede terminar la temporada con 8 ganadores, 4 perdedores y 2 empates?
Utilizando el problema de las bolitas, determina la probabilidad de que las tres bolitas escogidas sean rojas.
Utilizando el problema de las bolitas, determina la probabilidad de que dos bolitas seleccionadas sean rojas y la tercera sea azul.
Utilizando el problema sobre el Senado, ¿cuántos comités de dos personas se pueden formar con los senadores?
Tu prueba de inglés tiene siete preguntas de redacción y debes responder cuatro. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer?
Una prueba de psicología tiene 15 preguntas verdadero/falso. ¿De cuántas formas puedes responder 11 correctamente?
Siete personas están postulando a dos vacantes disponibles para formar parte del comité escolar; cuatro son mujeres y tres son hombres. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ocupar estas vacantes
1. con dos o más postulantes?
2. con sólo mujeres?
3. con un hombre y una mujer?

Repaso mixto

¿De cuántas maneras se puede organizar 15 pinturas en una pared?
Tu calculadora te da un error de "sobrecarga" cuando intentas simplificar $\frac{300!}{296!}$ . ¿Qué puedes hacer para ayudar a evaluar esta fracción?
Considera un dado estándar de seis lados. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número múltiplo de 2?
Resuelve los siguientes sistemas: la suma de dos números es 70,6 y su producto es 1.055,65. Encuentra los dos números.

Probabilidad y combinaciones

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

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Práctica guiada

Práctica

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