Propiedades Exponenciales que Involucran Productos

En esta Sección aprenderás a simplificar expresiones exponenciales utilizando las propiedades exponenciales que involucran productos.

¿Qué pasaría si lanzas un dado y obtienes un número entero entre 1 y 6? Empieza multiplicando el cuadrado por el cubo del entero. Ahora, Resuelve el cuadrado del resultado. Si el entero original es representado por la variable $x$ , ¿qué obtendrías luego de realizar estas operaciones? ¿Cómo encontrarías el exponente en tu respuesta? En esta Sección, aprenderás a simplificar expresiones con exponentes utilizando las propiedades exponenciales que involucran productos, para que así puedas resolver correctamente este tipo de problemas.

Propiedades Exponenciales que Involucran Productos

En esta Sección, aprenderás qué es un exponente y cuáles son las propiedades y reglas de estos. Además, aprenderás a utilizar exponentes para resolver problemas.

Definición: Un exponente es una potencia que muestra cuantas veces un número se multiplica por sí mismo.

Un ejemplo sería $2^3$ . Multiplicarías 3 veces 2 por sí mismo: $2 \times 2 \times 2$ . El número 2 es la base y el número 3 es el exponente. El valor $2^3$ se llama potencia.

Ejemplo A

Escribe en su forma exponencial: $\alpha \times \alpha \times \alpha \times \alpha$ .

Solución: Debes contar el número de veces que la base, $\alpha$ , se multiplica por sí misma. En este caso, se multiplica cuatro veces, por lo que la solución es $\alpha^4$ .

Nota: Existen reglas específicas que debes recordar al momento de resolver potencias de números negativos.

$(negative \ number) \times (positive \ number) &= negative \ number\\\(negative \ number) \times (negative \ number) &= positive \ number$

Los números negativos con potencias pares tendrán siempre resultados positivos. Se pueden hacer parejas con cada número, así los negativos se cancelarán.

$(-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = (-2)(-2) \cdot (-2)(-2) = +16$

Los números negativos con potencias impares tendrán siempre resultados negativos. Se pueden hacer parejas con cada número, pero habrá un número negativo aislado dando como resultado un número negativo.

$(-2)^5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = (-2)(-2) \cdot (-2)(-2) \cdot (-2) = -32$

Cuando multiplicamos los mismos números, cada uno con diferentes potencias, es más fácil combinarlos antes de resolver. Esta es la razón de usar la Propiedad de Productos de Potencias.

Propiedad de Productos de Potencias: Para todos los números reales $\chi, \chi^n \cdot \chi^m = \chi^{n+m}$ .

Ejemplo B

Multiplica $\chi^4 \cdot \chi^5$ .

Solución: $\chi^4 \cdot \chi^5 = \chi^{4+5} = \chi^9$

Nota que cuando usas la regla de productos NO MULTIPLICAS LAS BASES.

Ejemplo C

$2^2 \cdot 2^3 \neq 4^5$

Otra observación es que esta regla SE APLICA SOLO EN TÉRMINOS QUE TIENEN LA MISMA BASE.

La Potencia de un Producto

$& (x^4)^3 = x^4 \cdot x^4 \cdot x^4 \qquad \qquad 3 \ \text{factors of} \ x \ \text{to the power} \ 4.\\\& \underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x}_{x^4}) \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x}_{x^4}) \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x}_{x^4})=\underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x)}_{x^{12}}$

Esta situación se resume a continuación.

Propiedad de Potencias de un Producto: Para todos los números reales $\chi$ :

$(\chi^n)^m = \chi^{n \cdot m}$

La Propiedad de Potencias de un Producto es similar a la Propiedad Distributiva. Todo lo que se encuentra dentro del paréntesis debe ser elevado a la potencia que se encuentra afuera. Por ejemplo, $(x^2y)^4=(x^2)^4 \cdot (y)^4=x^8y^4$ . Observa cómo funciona.

$\underbrace{(x \cdot x \cdot y)}_{x^2y} \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot y)}_{x^2y} \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot y)}_{x^2y} \cdot \underbrace{(x \cdot x \cdot y)}_{x^2y}=\underbrace{(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y)}_{x^8y4}$

La Propiedad de Potencias de un Producto no funciona si hay una suma o resta dentro del paréntesis. Por ejemplo, $(\chi+\gamma)^2 \neq \chi^2 + \gamma^2$ . Debido a que hay una ecuación aditiva debería ser así $(\chi+\gamma)(\chi+\gamma)$ .

Ejemplo D

Simplifica $(\chi^2)^3$ .

Solución: $(\chi^2)^3= \chi^{2\cdot 3} = \chi^6$

Video de Repaso

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Práctica Orientada

1. Demuestra que $2^2 \cdot 3^3 \neq 6^5$ .

2. Simplifica $(\chi^3\cdot \chi^4)^2$ .

Soluciónes:

1. Resuelve cada lado por separado para demostrar que no son iguales:

$2^2 \cdot 3^3 &= (2\cdot 2)\cdot (3\cdot 3 \cdot 3)=4\cdot 27=108 \\\6^5 &= 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=7776$

Como $108 \neq 7776$ , esto significa que $2^2 \cdot 3^3 \neq 6^5$ .

2. $\left(\chi^3\cdot \chi^4\right)^2=\left(\chi^{3+4}\right)^2=\left(\chi^7\right)^2=\chi^{7\cdot 2}=\chi^{14}$

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. CK-12 Basic Algebra: Exponent Properties Involving Products (14:00)

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Considera $a^5$ .a. ¿Cuál es la base? b. ¿Cuál es la exponente? c. ¿Cuál es la potencia? d. ¿Cómo se escribiría esta potencia usando multiplicación repetida?

Determina si la respuesta será positiva o negativa. no es necesario que des una respuesta.

$-(3^4)$
$-8^2$
$10 \times (-4)^3$
5. ¿Cuál es la diferencia entre $-5^2$ y $(-5)^2$ ?

Escribe en notación exponencial.

$2 \cdot 2$
$(-3)(-3)(-3)$
$y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$
$(3a)(3a)(3a)(3a)$
$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$
$3x \cdot 3x \cdot 3x$
$(-2a)(-2a)(-2a)(-2a)$
$6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$

Encuentra el resultado.

$1^{10}$
$0^3$
$7^3$
$-6^2$
$5^4$
$3^4 \cdot 3^7$
$2^6 \cdot 2$
$(4^2)^3$
$(-2)^6$
$(0.1)^5$
$(-0.6)^3$

Multiplica y simplifica.

$6^3 \cdot 6^6$
$2^2 \cdot 2^4 \cdot 2^6$
$3^2 \cdot 4^3$
$x^2 \cdot x^4$
$x^2 \cdot x^7$
$(y^3)^5$
$(-2 y^4)(-3y)$
$(4a^2)(-3a)(-5a^4)$

Simplifica.

$(a^3)^4$
$(xy)^2$
$(3a^2b^3)^4$
$(-2xy^4z^2)^5$
$(3x^2 y^3) \cdot (4xy^2)$
$(4xyz) \cdot (x^2y^3) \cdot (2yz^4)$
$(2a^3b^3)^2$
$(-8x)^3(5x)^2$
$(4a^2)(-2a^3)^4$
$(12xy)(12xy)^2$
$(2xy^2)(-x^2y)^2(3x^2y^2)$

Repaso Mixto

¿De cuántas formas puedes elegir un comité de 4 personas de entre 7 personas?
Tres canoas cruzan la línea de meta para ganar medallas. ¿Este es un ejemplo de permutación o combinación? ¿Cuántas formas son posibles?
Encuentra la pendiente de (-9, 11) y (18, 6).
¿A qué conjunto(s) pertenece $\sqrt{36}$ .
Simplifica $\sqrt{74x^2}$ .
¿De qué número 78 es el 10%?
Escribe una ecuación para la recta que contiene (5, 3) y (3, 1).

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