Propiedades Exponenciales que Involucran Cocientes

En esta Sección aprenderás a usar la regla de cocientes y a trabajar con potencias de cocientes.

Quieres saber el volumen de un cubo y el área de una de sus bases. Si el largo de uno de sus lados es $s$ , ¿Cuál es el volumen del cubo? ¿Cuál es su área basal? Supón que encontraste la altura del cubo, dividiendo su volumen por su área, ¿Qué expresión podrías escribir para representar este cociente? En esta Sección, aprenderás sobre propiedades exponenciales que involucran cocientes, para que así puedas resolver problemas con divisiones como este.

Orientación

En esta Sección, aprenderás a simplificar cocientes de números y sus variables.

Propiedad de Cocientes de Potencias: Para todos los números reales $\chi, \frac{\chi^n}{\chi^m} =\chi^{n-m}$ .

Cuando dividas expresiones con la misma base, mantén la base y resta los exponentes en el denominador (la parte de abajo) de los exponentes en el numerador (la parte de arriba). Cuando tenemos problemas con distinta base, aplicamos la regla para cada base..

Ejemplo A

Simplifica $\frac{x^7}{x^4}$ .

Solución: Para simplificar $\frac{x^7}{x^4}$ , se puede usar la multiplicación repetida.

$\frac{x^7}{x^4} &= \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}}=\frac{x \cdot x \cdot x}{1}=x^3\\\\frac{x^5y^3}{x^3y^2} &= \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot x \cdot x}{\cancel{x} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{y} \cdot \cancel{y} \cdot y}{\cancel{y} \cdot \cancel{y}}=\frac{x \cdot x}{1} \cdot \frac{y}{1}=x^2 y \ \text{OR} \ \frac{x^5y^3}{x^3y^2}=x^{5-3} \cdot y^{3-2}=x^2y$

Ejemplo B

Simplifica cada una de las siguientes expresiones usando la regla de los cocientes.

(a) $\frac{x^{10}}{x^5}$

(b) $\frac{x^5 \gamma^4}{x^3 \gamma^2}$

Solución:

(a) $\frac{x^{10}}{x^5}=\chi^{10-5}=\chi^5$

(b) $\frac{x^5 \gamma^4}{x^3 \gamma^2}=\chi^{5-3} \cdot \gamma^{4-2}=\chi^2 \gamma^2$

Propiedad de los Cocientes de Potencias: $\left(\frac{\chi^n}{\gamma^m}\right)^p = \frac{\chi^{n \cdot p}}{\gamma^{m \cdot p}}$

Las potencia dentro del paréntesis en el numerador y el denominador se multiplica con la potencia fuera del paréntesis. La situación a continuación muestra por qué esta propiedad es cierta.

Ejemplo C

Simplifica $\left(\frac{x^3}{y^2}\right)^4$ .

$\left(\frac{x^3}{y^2}\right)^4=\left( \frac{x^3}{y^2} \right) \cdot \left( \frac{x^3}{y^2}\right) \cdot \left( \frac{x^3}{y^2} \right) \cdot \left( \frac{x^3}{y^2} \right)=\frac{(x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x)}{(y \cdot y) \cdot (y \cdot y) \cdot (y \cdot y) \cdot (y \cdot y)}=\frac{x^{12}}{y^8}$

Video de Repaso

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Práctica Orientada

Simplifica las siguientes expresiones.

$\left( \frac{x^{10}}{\gamma^5} \right)^3$

Solución:

$\left(\frac{x^{10}}{\gamma^5}\right)^3 = \frac{\chi^{10 \cdot 3}}{\gamma^{5 \cdot 3}} = \frac{\chi^{30}}{\gamma^{15}}$

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. CK-12 Basic Algebra: Exponent Properties Involving Quotients (9:22)

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Resuelve las siguientes expresiones.

$\frac{5^6}{5^2}$
$\frac{6^7}{6^3}$
$\frac{3^{10}}{3^4}$
$\left(\frac{2^2}{3^3}\right)^3$

Simplifica las siguientes expresiones.

$\frac{a^3}{a^2}$
$\frac{x^9}{x^5}$
$\frac{x^{10}}{x^5}$
$\frac{a^6}{a}$
$\frac{a^5b^4}{a^3b^2}$
$\frac{4^5}{4^2}$
$\frac{5^3}{5^7}$
$\left( \frac{3^4}{5^2} \right)^2$
$\left( \frac{a^3b^4}{a^2b} \right)^3$
$\frac{x^6y^5}{x^2y^3}$
$\frac{6x^2y^3}{2xy^2}$
$\left( \frac{2a^3b^3}{8a^7b} \right)^2$
$(x^2)^2 \cdot \frac{x^6}{x^4}$
$\left( \frac{16 a^2}{4b^5} \right)^3 \cdot \frac{b^2}{a^{16}}$
$\frac{6a^3}{2a^2}$
$\frac{15x^5}{5x}$
$\left( \frac{18 a^{10}}{15 a^4} \right)^4$
$\frac{25yx^6}{20 y^5 x^2}$
$\left( \frac{x^6 y^2}{x^4y^4} \right)^3$
$\left( \frac{6a^2}{4b^4} \right)^2 \cdot \frac{5b}{3a}$
$\frac{(3ab)^2(4a^3b^4)^3}{(6a^2b)^4}$
$\frac{(2a^2bc^2)(6abc^3)}{4ab^2c}$

Repaso Mixto

Resuelve $x|z|-|z|$ si $x=8$ y $z=-4$ .
Grafica el conjunto de soluciones de este sistema $\begin{cases} y<-x-2 \\\y \ge -6x+3 \end{cases}$ .
Resuelve $\binom{8}{4}$ .
¡Inventa una situación que pueda ser resuelta por 4!
Escribe lo siguiente como una oración algebraica: Un número al cubo que de 8.

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