Exponentes Fraccionarios

En esta Sección aprenderás a usar exponentes fraccionarios en lugar de raíces al momento de escribir expresiones.

Quieres encontrar la raíz cubica de un numero, pero tu calculadora solo te permite encontrar raíces cuadradas. Sin embargo, esta te permite encontrar un número elevado a cualquier potencia, incluyendo potencias no enteras. ¿Qué harías? ¿Hay una forma de rescribir la raíz cubica de un numero con un exponente fraccionario para que puedas usar la calculadora y así encontrar la respuesta? En esta Sección, aprenderás a rescribir raíces como exponentes fraccionarios y no depender del botón de raíces de tu calculadora.

Orientación

El siguiente objetivo es ser capaz de usar fracciones como exponentes en una fracción.

Raíces como Exponentes Fraccionarios: $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$ .

Ejemplo A

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}, \sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}, \sqrt[5]{a^2}=(a^2)^{\frac{1}{5}}=a^{\frac{2}{5}}$

Ejemplo B

Simplifica las siguientes expresiones.

(a) $\sqrt[3]{\chi}$

(b) $\sqrt[4]{\chi^3}$

Solución:

(a) $\chi^{\frac{1}{3}}$

(b) $\chi^{\frac{3}{4}}$

Resolución de Expresiones con Exponentes

Es importante cuando resolvemos las siguientes expresiones que recuerdes el Orden de Operaciones. Calcula lo que se encuentra dentro del paréntesis, luego calcula los exponentes, luego realiza la multiplicación/división de izquierda a derecha y finalmente realiza la suma/resta de izquierda a derecha.

Ejemplo C

Calcula la siguiente expresión.

$3 \cdot 5^2 - 9^{1/2} \cdot 5+1$

Solución:

$3 \cdot 5^2-9^{1/2} \cdot 5+1=3 \cdot 25-\sqrt{9} \cdot 5+1=75-3\cdot 50+1=75-150+1=-74$

Video de Repaso

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Práctica Orientada

Simplifica $\left(\frac{3^2\cdot 36^{3/2}}{2^3}\right)^{2/5}$ .

Solución:

Empezamos a simplificar teniendo en cuenta que $36^{3/2}=(36^{1/2})^3$ .

$\left(\frac{3^2\cdot 36^{3/2}}{2^3}\right)^{2/5}= \left(\frac{3^2\cdot (36^{1/2})^3}{2^3}\right)^{2/5}= \left(\frac{3^2\cdot (\sqrt{36})^3}{2^3}\right)^{2/5} = \left(\frac{3^2\cdot 6^3}{2^3}\right)^{2/5}$

Luego ordena sabiendo que 6 y 2 tienen un factor común, 2.

$\left(\frac{3^2\cdot 6^3}{2^3}\right)^{2/5}=\left( 3^2 \cdot \left(\frac{6}{2}\right)^3\right)^{2/5} = \left( 3^2 \cdot 3^3\right)^{2/5} =\left(3^5\right)^{2/5} =3^{5\cdot 2/5}=3^2=9$

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. . CK-12 Basic Algebra: Zero, Negative, and Fractional Exponents (14:04)

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Simplifica las siguientes expresiones. Asegúrate de que la respuesta final incluya solo exponentes positivos.

$\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2$
$\frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$
$\left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{\frac{1}{3}}$
$\frac{x^{-3}y^{-5}}{z^{-7}}$
$(x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{2}{3}})(x^2 y^{\frac{1}{3}})$

Simplifica las siguientes expresiones sin ninguna fracción en la respuesta.

$\left(\frac{3x}{y^{\frac{1}{3}}}\right)^3$
$\frac{4a^2b^3}{2a^5b}$
$\left(\frac{x}{3y^2}\right)^3 \cdot \frac{x^2y}{4}$
$\left(\frac{ab^{-2}}{b^3}\right)^2$
$\frac{x^{-3}y^2}{x^2y^{-2}}$
$\frac{3x^2y^{\frac{3}{2}}}{xy^{\frac{1}{2}}}$
$\frac{(3x^3)(4x^4)}{(2y)^2}$
$\frac{a^{-2}b^{-3}}{c^{-1}}$
$\frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}y^{\frac{3}{2}}}$

Calcula las siguientes expresiones de forma que la respuesta sea solo un número.

$(16^{\frac{1}{2}})^3$
$5^0$
$7^2$
$\left(\frac{2}{3}\right)^3$
$3^{-3}$
$16^{\frac{1}{2}}$
$8^{\frac{-1}{3}}$

Revisión Mixta

Un cuestionario tiene 10 preguntas: 7 verdadero/falso y 3 elección múltiple. Las preguntas de elección múltiple tienen cuatro alternativas. ¿De cuántas formas se puede responder la prueba?
Simplifica $3a^4 b^4 \cdot a^{-3} b^{-4}$ .
Simplifica $(x^4 y^2 \cdot xy^0)^5$ .
Simplifica $\frac{v^2}{-vu^{-2} \cdot u^{-1} v^4}$ .
Resuelve $n: -6(4n+3)=n+32$ .

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