Crecimiento Exponencial

En esta Sección aprenderás sobre funciones que crecen exponencialmente.

Supón que 1000 personas visitaron una página web durante su primer mes y que el total de visitantes se triplica cada mes. ¿Podrías escribir una función para representar esta situación? ¿Cuál será el total de visitantes de la página web al cabo de 9 meses? En esta Sección, aprenderás sobre crecimiento exponencial y sobre cómo resolver funciones de crecimiento exponencial para que puedas manejar situaciones como esta.

Orientación

En Secciones anteriores, hemos visto la varíale como base. En las funciones exponenciales, el exponente es la variable y la base la constante.

Forma General de una Función Exponencial: $y=a (b)^x$ , donde $a=$ valor inicial y

$b= growth \ factor$

En situaciones de crecimiento exponencial, el factor de crecimiento debe ser mayor a uno.

$b>1$

Ejemplo A

Una colonia de bacterias tiene una población de 3.000 el mediodía del domingo. Durante la siguiente semana, la población de la colonia se dobla cada día. ¿Cuál es la población de la colonia de bacterias el mediodía del sábado?

Solución: Haz una tabla de valores y calcula la población cada día.

Día	0 (Dom)	1 (Lun)	2 (Mar)	3 (Mier)	4 (Jue)	5 (Vier)	6 (Sab)
Población (miles)	3	6	12	24	48	96	192

Para obtener la población de bacterias al día siguiente, multiplicamos la población del día por 2 porque esta es el doble cada día. Si definimos $x$ como el número de dias desde el domingo al mediodia, entonces podemos escribir lo siguiente: $P= 3 \cdot 2^x$ . Esta es una fórmula que podemos usar para calcular la población de cada día. Por ejemplo, la población el día sábado al mediodía será $P = 3 \cdot 2^6=3 \cdot 64 = 192$ mil bacterias. Usamos $x=6$ , ya que desde el mediodía del domingo pasan seis días hasta el mediodía del sábado.

Graficar Funciones Exponenciales

Los gráficos de funciones de crecimiento exponencial muestran cuán rápido aumentan los valores de las funciones.

Ejemplo B

Grafica la ecuación usando una tabla de valores: $y=2^x$ .

Solución: Haz una tabla de valores que incluya tanto valores positivos como negativos de $x$ . Reemplaza estos valores para $x$ para obtener el valor de la variable $y$ .

$x$	$y$
–3	$\frac{1}{8}$
–2	$\frac{1}{4}$
–1	$\frac{1}{2}$
0	1
1	2
2	4
3	8

Marca los puntos en los ejes de coordenadas para obtener el siguiente gráfico. Las funciones exponenciales siempre tienen esta forma: empiezan muy pequeñas y luego una vez que empiezan a crecer, o hacen más y más rápido hasta que se vuelven enormes.

Ejemplo C

En el último ejemplo, hicimos un gráfico para $y=2^x$ .Compara ese gráfico con el gráfico de $y = 3 \cdot 2^x$ .

Solución:

$x$	$y$
–2	$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{2^2} =\frac{3}{4}$
–1	$3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2^1} = \frac{3}{2}$
0	$3 \cdot 2^0 = 3$
1	$3 \cdot 2^1 = 6$
2	$3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$
3	$3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$

Podemos ver que la función $y=3 \cdot 2^x$ es más grande que la función $y=2^x$ . En ambas funciones, el valor de $y$ se dobla cada vez que aumenta $x$ Sin embargo, $y=3 \cdot 2^x$ empieza con un valor de 3, mientras que $y=2^x$ empieza con un valor de 1, por lo que tiene sentido que $y=3 \cdot 2^x$ sea más grande.

La forma del gráfico exponencial cambia si la constante cambia. La curva puede ser más elevada o menos acentuada.

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Orientada

Una población de 500 organismos E. Coli se dobla cada quince minutos. Escribe una función que exprese la cantidad de población como una función de horas.

Solución:

Debido a que hay cuatro periodos de 15 minutos en una hora, esto significa que la población se doblara 4 veces en una hora. Doblarse dos veces es lo mismo que cuadruplicarse ya que:

$1\cdot 2 \cdot 2=1\cdot 2^2=1 \cdot 4=4.$

Esto significa que doblarse 4 veces puede ser resuelto como $2^4=16$ . Así la población es 16 veces más grande cada hora. Con una población inicial de 500, la función es:

$f(x)=500\cdot 8^x$

donde $x$ está en horas y $f(x)$ es el número de organismos después de $x$ horas.

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. CK-12 Basic Algebra: Exponential Growth Functions (7:41)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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¿Cuál es la forma general de una ecuación exponencial? ¿Qué representan las variables?
¿De qué forma se diferencian una ecuación de crecimiento exponencial y una ecuación lineal?
¿Qué hay de cierto sobre el factor de crecimiento de una ecuación exponencial?
¿Verdadero o Falso? Una función de crecimiento exponencial tiene la siguiente forma: $f(x)=a(b)^x$ , donde $a>1$ y $b<1$ ?
¿Cuál es el intercepto $y-$ de todas las funciones de crecimiento exponencial?

Grafica las siguientes funciones exponenciales haciendo una tabla de valores.

$y=3^x$
$y=2^x$
$y=5 \cdot 3^x$
$y=\frac{1}{2} \cdot 4^x$
$f(x)=\frac{1}{3} \cdot 7^x$
$f(x)=2 \cdot 3^x$
$y=40 \cdot 4^x$
$y=3 \cdot 10^x$

Resuelve los siguientes problemas que involucran crecimiento exponencial.

Una carta en cadena es enviada a 10 personas diciendo que cada uno debía enviarla a 10 personas más. Asume que cada persona que recibe la carta, la envía a 10 personas distintas y que toma una semana por cada ciclo. ¿Cuánta gente recibe la carta en la sexta semana?
Nadia recibió $200 en su cumpleaños número $10^{th}$ Si los guarda en el banco con una tasa de interés de 7,5% al año, ¿Cuánto dinero tendrá para su cumpleaños número $21^{st}$ ?

Revisión Mixta

Supón que se selecciona al azar una letra del alfabeto. ¿Cuál es la probabilidad de que la letra sea $M, K$ , or $L$ ?
Resuelve $t^4 \cdot t^\frac{1}{2}$ when $t=9$ .
Simplifica $28-(x-16)$ .
Grafica $y-1=\frac{1}{3} (x+6)$ .

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