Decrecimiento Exponencial

En esta Sección aprenderás lo que significa decrecimiento exponencial y a resolver funciones de decrecimiento exponencial.

Supón que la cantidad de sustancia radioactiva disminuye a la mitad cada 25 años. Si hay originalmente 500 gramos de sustancia, ¿podrías escribir una función que represente la cantidad de sustancia luego de $x$ años? ¿Cuánta sustancia habrá dentro de 100 años? ¿Llegará la cantidad de sustancia a 0 gramos? Después de completar esta Sección, serás capaz de responder preguntas como estas sobre decrecimiento exponencial.

Orientación

En la última Sección, aprendimos a resolver ejemplos de expresiones con crecimiento exponencial. En esta Sección, aprenderemos sobre funciones de decrecimiento exponencial.

Forma General de una Función Exponencial: $y=a (b)^x$ , donde $a=$ valor inicial y

$b = growth \ factor$

En situaciones de decrecimiento exponencial, el factor de crecimiento debe ser una fracción entre cero y uno.

$0<b<1$

Ejemplo A

Para su cumpleaños número quince, la abuela de Nadia le dio una bolsa llena de dulces. Nadia contó sus dulces y descubrió que había 160 en la bolsa. Nadia adora los dulces, por lo que comió la mitad de ellos el primer día. Su madre le dijo que si seguía comiendo dulces, estos se acabarían al día siguiente y no tendría más hasta su próximo cumpleaños. Nadia elaboró un plan; comería siempre la mitad de los dulces que le quedaran en la bolsa cada día. Ella piensa que así comería dulces todos los días y no se le acabarían. ¿Cuántos dulces tendrá Nadia al terminar la semana? ¿Le durarán realmente para siempre?

Solución: Haz una tabla de valores para este problema.

Día	0	1	2	3	4	5	6	7
# de Caramelos	160	80	40	20	10	5	2.5	1.25

Te podrás dar cuenta que si Nadia se come la mitad de los dulces cada día, al finalizar la semana tendrá 1,25 dulces en la bolsa.

Escribe una ecuación para esta función exponencial. Al principio, Nadia tenía 160 dulces. Para saber la cantidad de dulces que le quedan cada día, seguimos multiplicando por $\frac{1}{2}$ . Debido a que es una función exponencial, la ecuación es:

$y=160 \cdot \frac{1}{2}^x$

Graficar Funciones de Decrecimiento Exponencial

Ejemplo B

Grafica la función exponencial $y=5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

Solución: Empieza haciendo una tabla de valores. Recuerda que cuando tienes un número elevado a una potencia negativa, simplemente tomas el recíproco de ese número y lo conviertes en una potencia positiva. Ejemplo $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 2^2$ .

$x$	$y=5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$
–3	$y =5 \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=40$
–2	$y =5 \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=20$
–1	$y =5 \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=10$
0	$y =5 \left(\frac{1}{2}\right)^0=5$
1	$y =5 \left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{5}{2}$
2	$y =5 \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}$

Ahora grafica la función.

Usando la Propiedad de Exponentes Negativos, la ecuación podría además ser escrita como $5 \cdot 2^{-x}$ .

Ejemplo C

Grafica las funciones $y=4^x$ y $y=4^{-x}$ y

Solución:

Aquí se presenta una tabla de valores y el gráfico de dos funciones.

Si observamos los valores en la tabla, nos daremos cuenta de que ambas funciones son "imágenes inversas" de cada una en el sentido de que los valores de ambas funciones son recíprocas.

$x$	$y=4^x$	$y=4^{-\chi}$
–3	$y=4^{-3} = \frac{1}{64}$	$y=4^{-(-3)} = 64$
–2	$y=4^{-2} = \frac{1}{16}$	$y=4^{-(-2)} = 16$
–1	$y=4^{-1} = \frac{1}{4}$	$y=4^{-(-1)} = 4$
0	$y=4^0 = 1$	$y=4^{-(0)} = 1$
1	$y=4^1 = 4$	$y=4^{-(1)} =\frac{1}{4}$
2	$y=4^2 = 16$	$y=4^{-(2)} =\frac{1}{16}$
3	$y=4^3 = 64$	$y=4^{-(3)} = \frac{1}{64}$

Aquí está el gráfico de ambas funciones. Nota que estas dos funciones son reflejo de la otra si el espejo se posiciona verticalmente en el eje $y-$ .

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Orientada

Si una persona ingiere 125 milígramos de un medicamento y luego de que la dosis es completamente absorbida en el torrente sanguíneo, solo hay un 70% restante después de cada hora, escribe una función que proporcione la concentración restante en el torrente sanguíneo después de horas. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo después de 3 horas?

Solución:

Esta será una función decreciente en la forma $f(t)=a\cdot b^t$ . Sabemos que el valor inicial es 125 milígramos. Después de una hora lo multiplicamos por 0,70 para encontrar el 70% de 125. Después de la segunda hora, multiplicamos por 0,7 nuevamente y así sucesivamente:

$\text{The initial dose.} && 125&=125 \\\\text{After one hour.} && 125 \cdot 0.7&=87.5\\\\text{After two hours.} && 125 \cdot 0.7 \cdot 0.7=125 \cdot 0.7^2&=61.25\\\\text{After three hours.} && 125 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7=125 \cdot 0.7^3&=42.875$

Como multiplicamos por 0,7 para encontrar el 70% que queda luego de cada hora, el factor de decrecimiento es 0,7. La función será:

$f(t)=125(0.7)^t.$

También encontramos que luego de tres horas, la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo será de 42,875 milígramos.

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. CK-12 Basic Algebra: Exponential Decay Functions (10:51)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

Define decrecimiento exponencial.
¿Qué es cierto sobre “b” en una función de decrecimiento exponencial?
Supón que $f(x)=a(b)^x$ . ¿Cuál es $f(0)$ ? ¿Qué significa en términos del intercepto $y-$ de una función exponencial?

Grafica las siguientes funciones de decrecimiento exponencial.

$y=\frac{1}{5}^x$
$y=4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x$
$y=3^{-x}$
$y=\frac{3}{4} \cdot 6^{-x}$

El porcentaje de luz visible a metros está dada por la función .
1. ¿Cuál es el factor de crecimiento?
2. ¿Cuál es el valor inicial?
3. Encuentra el porcentaje de luz visible a 65 metros.

Una persona es infectada por una cierta infección bacteriana. Cuando va al doctor, la población de bacterias es de 2 millones. El doctor le receta un antibiótico que reduce la población bacteriana a de la cantidad cada dia.
1. Haz un gráfico de la cantidad de la población bacteriana contra el tiempo en días.
2. Encuentra la fórmula que da el tamaño de la población bacteriana en términos de días.
3. Encuentra el tamaño de la población bacteriana diez días después de que la droga fue ingerida.
4. Encuentra el tamaño de la población bacteriana después de dos semanas (14 días).

Revisión Mixta

La población de Kindly, USA incrementa a una tasa de 2,14% cada año. La población en el año 2010 es 14.578.
1. Escribe una ecuación para ejemplificar esta situación.
2. ¿Cuál será la población de Kindly en el año 2015?
3. ¿Cuándo tendrá una población de 45.000 personas?

El volumen de una esfera está dada por la fórmula $v=\frac{4}{3} \pi r^3$ . Encuentra el volumen de una esfera con diámetro de 11 pulgadas.
Simplifica $\frac{6x^2}{14y^3} \cdot \frac{7y}{x^8} \cdot x^0 y$ .
Simplifica $3(x^2 y^3 x)^2$ .
Rescribe en la forma estándar: $y-16+x=-4x+6y+1$ .

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