Secuencias Geométricas y Funciones Exponenciales

En esta Sección aprenderás sobre funciones exponenciales y secuencias geométricas y a hacer predicciones basadas en estas secuencias.

Supón que posees una casa que tiene problemas de termitas, por lo que llamas a un exterminador. El exterminador te pide que le cuentes el problema y le dices que "cada día durante la última semana has contado las termitas y había 5, 10, 20, 40, 80, 160 y 320, respectivamente". ¿Cuántas termitas esperas contar? En esta Sección, aprenderás sobre secuencias geométricas y sobre cómo relacionarlas con las funciones exponenciales para que puedas hacer predicciones como la que se pidió aquí.

Orientación

¿Qué preferiría: que te den un millón de dólares o que te den un centavo el primer día, el doble al día siguiente y el doble de centavos por cada día durante un mes?

A primera vista podrías pensar que un millón de dólares seria más. Sin embargo, usemos secuencias geométricas antes de decidir para ver cuántos centavos serán en total. Empiezas con un centavo y continúas doblando esa cantidad cada día hasta que termina el mes (30 días).

$1^{st} \ \text{Day} && 1 \ \text{penny} & = 2^0\\\2^{nd} \ \text{Day} && 2 \ \text{pennies} & = 2^1\\\3^{rd} \ \text{Day} && 4 \ \text{pennies} & = 2^2\\\4^{th} \ \text{Day} && 8 \ \text{pennies} & = 2^3\\\30^{th} \ \text{Day} && & = 2^{29}$

El resultado es $2^{29} =536,870,912$ centavos o $5.368.709,12, lo que es de cinco veces más que $1.000.000,00.

Secuencia Geométrica: una secuencia de números en la cual cada número en la secuencia es encontrado al multiplicar el número anterior por una cantidad conocida como índice común.

$n^{th}$ término en una secuencia geométrica $a_n= a_1 r^{n-1}$ ( $a_1 =$ primer término, $r =$ índice común)

El Índice Común de una Secuencia Geométrica

El Índice Común de una Secuencia Geométrica , $r$ , en cualquier secuencia geométrica puede ser encontrada al dividir cualquier término por el término que lo precede. Si sabemos el índice común en una secuencia entonces podemos encontrar cualquier término en la secuencia.

Ejemplo A

Encuentra el octavo término en la secuencia geométrica.

1, 2, 4,...

Solución:

Primero tenemos que encontrar el índice común: $r=\frac{2}{1}=2$ .

El octavo término esta dado por la fórmula $2=1 \cdot 2^7=128$ .

En otras palabras, para obtener el octavo término empezamos con el primer término, el cual es 1, y lo multiplicamos por 2 siete veces.

Graficar Secuencias Geométricas

Los gráficos exponenciales y los gráficos de secuencias geométricas son muy parecidos. Sin embargo, los gráficos exponenciales son continuos y los gráficos de secuencias son discretos con distintos puntos ( $1^{st}$ término y $2^{nd}$ término, etc.).

Ejemplo B

Una población de bacterias en una placa de Petri aumenta por un factor de tres cada 24 horas. La población inicial es de 1 millón de bacterias. Esto significa que en el primer día la población aumenta 3 millones, al segundo día a 9 millones y así sucesivamente.

Solución:

La población de bacterias es continua. Aunque medimos la población solo cada 24 horas, sabemos que no pasa de 1 millón a 3 millones de una vez. Al contrario, la población cambia minuto a minuto durante las 24 horas. En otras palabras las bacterias están siempre ahí y puedes, si quieres, saber cuál es la población en cualquier momento durante el periodo de 24 horas.

Cuando graficamos una función exponencial, dibujamos el gráfico con una curva sólida para mostrar que la función tiene valores en cualquier momento durante el día. Por otro lado, cuando graficamos una secuencia geométrica, dibujamos puntos discretos para mostrar que la secuencia tiene valores solo en esos puntos pero entre medio.

Aquí hay gráficos para los dos ejemplos dados anteriormente.

Ejemplo C

Un cortesano se presentó ante el Rey de la India con una hermosa tabla de ajedrez hecha a mano. El Rey le pregunto qué quería a cambio y el cortesano sorprendió al Rey pidiendo un grano de arroz en el primer cuadrado, dos granos en el segundo, cuatro en el tercero, etc. El Rey accedió rápidamente y le pidió que trajeran el arroz (de Meadows et al. 1972, pag.29 via Porritt 2005). ¿Cuántos granos de arroz debe poner el Rey en el último cuadrado?

Solución:

Una tabla de ajedrez se distribuye de $8 \times 8$ cuadrados, por lo que contiene un total de 64 cuadrados.

El cortesano pidió un grano de arroz en el primer cuadrado, 2 en el segundo, 4 en tercero y así sucesivamente. Podemos escribir esto como una secuencia geométrica.

1, 2, 4,...

Los números se doblan cada vez, por lo que el índice común es $r=2$ .

El problema pide saber la cantidad de granos que el rey debe poner en el último cuadrado. Lo que necesitamos saber es el término $64^{th}$ en la secuencia. Esto significa multiplicar el término inicial, 1, por el índice común 64 veces seguidas. Usemos la fórmula.

$a_n=a_1 r^{n-1}$ , donde $a_n$ donde $n^{th}$ término, $a_1$ es el primer término y $r$ es el índice común.

$a_{64}=1 \cdot 2^{63}=9, 223, 372, 036, 854, 775, 808$ granos de arroz.

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Orientada

Encuentra el siguiente número en la secuencia geométrica: 0,01, 0,06, 0,36, 2,16, 12,96,...

Solución:

El índice común es:

$\frac{0.06}{0.01}=6.$

Como el primer valor en la secuencia es 0,01, la secuencia geométrica es

$a_n= 0.01(6)^{n-1}$

and since we are looking for the 6th term

$a_6= 0.01(6)^{6-1}=0.01(6)^5=77.76.$

El siguiente número en la secuencia es 77,76.

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. . CK-12 Basic Algebra: Geometric Sequences (10:45)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Define una secuencia geométrica.
Usando el ejemplo de la tabla de ajedrez, ¿Cuántos granos de arroz deberían ser puestos en él:
1. cuarto cuadrado?
2. décimo cuadrado?
3. vigésimo quinto cuadrado?
4. $60^{th}$ cuadrado?

¿Es lo siguiente un ejemplo de una secuencia geométrica? Explica tu respuesta. -1, 1, -1, 1, -1, ...
Usa el ejemplo de la placa de Petri de esta Sección. ¿En qué momento habrán 25.000 bacterias en la placa?

Determina la razón constante,, $r$ , para cada secuencia geométrica.

8, 6,...
2, 4, 8, 16,...
$9,3,\frac{1}{3},\frac{1}{9}, ...$
2, –8, 32, –128

Determina los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica.

$a_1=2, r=3$
$a_1=90, r=-\frac{1}{3}$
$a_1=6, r=-2$

Encuentra los términos que faltan en cada secuencia geométrica.

3, ____, 48, 192, ____
81, ____, ____, ____, 1
$\frac{9}{4}$ , ____, ____, $\frac{2}{3}$ , ____

Encuentra el término indicado de cada secuencia geométrica.

$a_1=4, r=2$ encuentra $a_6$ .
$a_1=-7, r=-\frac{3}{4}$ encuentra $a_4$ .
$a_1=-10, r=-3$ encuentra $a_{10}$ .

Una pelota es lanzada desde una altura de cuatro pies. Cada bote es un 80% más alto que el anterior.
1. Escribe una ecuación para representar la situación.
2. ¿Cuán alto es el bote de la pelota después del quinto bote?

Una hormiga pasa a través de muchas pilas de bloques Lego. Hay un bloque en la primera pila, tres bloques en la segunda y nueve bloques en la tercera. De hecho, en cada pila hay el triple de bloques que en la anterior.
1. ¿Cuántos bloques hay en la octava pila?
2. ¿Cuándo la pila es 343 bloques de alto?

Una súper pelota tiene un índice de rebote de 75%. Cuando la dejas caer desde una altura de 20 pies, esta rebota y rebota y rebota
1. ¿Cuán alto rebota la pelota luego de chocar con el suelo por tercera vez?
2. ¿Cuán alto rebota la pelota luego de chocar con el suelo por décima séptima vez?

Anne salta en bungee desde un puente sobre agua. En el salto inicial, la cuerda bungee se estira 120 pies. En el siguiente rebote, se estira 60% del salto original y cada rebote adicional estira la cuerda un 60% del salto anterior.
1. ¿Cuánto se estirará la cuerda en el tercer rebote?
2. ¿Cuánto se estirará la cuerda en el $12^{th}$ rebote?

Una población viral dobla su cantidad cada 30 minutos. Esta comienza con una población de 30.
1. ¿Cuántas células virales habrán después de 5 horas?
2. ¿Cuándo llegarán a ser 1.000.000 de células? Aproxima a la media hora más cercana.

Revisión Mixta

Escribe como una oración algebraica: Un número al cuadrado es menor que 15 más del doble de ese número.
Saca la pendiente y el intercepto de $y-$ de $y=\frac{2}{3} x-7$ .
Resuelve 10!.
Convierte 6 millas a yardas.
Simplifica $\frac{5y^2-3y^2}{4y^{11}}$ .
Simplifica $3x^2 \cdot x^6+4x^3 x^5$ .
Resuelve $\left(\frac{27}{64}\right)^{-\frac{1}{3}}$ .

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