Aplicaciones de Funciones Exponenciales

En esta Sección aprenderás a usar las aplicaciones que involucran exponentes y funciones exponenciales.

¿Has escuchado sobre Índice de Precio al Consumidor? Este mide el nivel del precio de ciertos productos y servicios para medir la inflación. Supón que el Índice de Precio al Consumidor es actualmente 226 y aumenta a una tasa de 3% por año. ¿Cuál será el índice dentro de 10 años? ¿Qué función exponencial usarías para responder esta pregunta? En este Sección, aprenderás a resolver problemas de la vida real como este usando todo lo que has aprendido en las Secciones anteriores.

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Enlace Multimedia: Para aprender más sobre cómo usar la función exponencial adecuada, visita la página http://regentsprep.org/REgents/math/ALGEBRA/AE7/ExpDecayL.htm - página de lecciones por RegentsPrep.

Orientación

Tenemos que lidiar con problemas en muchas situaciones de la vida real. Por lo tanto, es importante saber los pasos que debes seguir cuando resuelves un problema.

Ejemplo A

Supón que se invierte $4000 con un interés de 6% al año. ¿Cuánto dinero tendrá en el banco dentro de cinco años? ¿Dentro de 20 años?

Solución:

Lee el problema y resume la información.

Se invierte $4000 con un interés de 6% al año. Queremos saber cuánto dinero tendrá dentro de cinco años.

Asigna variables. Deja $x=$ tiempo en años y $y=$ cantidad de dinero en la cuenta de inversiones .
Empezamos con $4000 y cada año aplicamos un 6% de interés a la cantidad en el banco.
El patrón es que cada año multiplicamos la cantidad anterior por un factor de $100\%+6\%=106\%=1.06$ .
Completa una tabla de valores.

Tiempo (años)	0	1	2	3	4	5
Cantidad invertida ($)	4000	4240	4494.40	4764.06	5049.91	5352.90

Usando la tabla, podemos ver que al pasar los cinco años tenemos $5352,90 en la cuenta.

En el caso de los cinco años, no necesitamos una ecuación para resolver el problema. Sin embargo, si queremos saber la cantidad al pasar 20 años, se vuelve un poco difícil multiplicar constantemente. Podemos usar una fórmula.

Como tomamos la inversión original y seguimos multiplicando por el mismo factor de 1,06, esto significa que podemos usar notación exponencial.

$y=4000 \cdot (1.06)^x$

Para encontrar la cantidad después de cinco años usamos $x=5$ en la ecuación.

$y=4000 \cdot (1.06)^5=\$ 5352.90$

Para encontrar la cantidad después de 20 años usamos $x=20$ en la ecuación.

$y=4000 \cdot (1.06)^{20}=\$ 12,828.54$

Para comprobar nuestra respuesta podemos reemplazar algunos valores menores de $x$ para ver si coinciden con los valores en la tabla.

$& x = 0 && 4000 \cdot (1.06)0 = 4000\\\& x = 1 && 4000 \cdot (1.06)1 = 4240\\\& x = 2 && 4000 \cdot (1.06)2 = 4494.40$

Las respuestas tienen sentido debido a que después del primer año, la cantidad sube $240 (6% de $4000). La cantidad de aumento se vuele más y más grandes cada año y eso tiene sentido porque el interés es 6% de una cantidad que es más grande cada año.

Ejemplo B

El costo de un auto nuevo es $32,000. Este se devalúa a una tasa de 15% por año. Esto significa que pierde 15% de su valor cada año.

Dibuja un gráfico del valor del auto contra el tiempo en años.
Encuentra la fórmula que da el valor del auto en términos de tiempo.
Encuentra el valor del auto cuando ya tenga cuatro años.

Solución:

Este es un ejemplo de una función de decrecimiento exponencial. Empieza haciendo una tabla de valores. Para llenar con los valores empezamos con 32.000 cuando $t=0$ . Entonces multiplicamos el valor del auto por 85% por cada año que pasa. (Como el auto pierde 15% de su valor, este mantiene 85% de su valor). Recuerda $85\% =0.85$ .

Tiempo	Valor (miles)
0	32
1	27,2
2	23,1
3	19,7
4	16,7
5	14,2

La fórmula general es $y=a (b)^x$ .

En este caso: $y$ es el valor del auto, $x$ es el tiempo en años, $a=32,000$ es la cantidad inicial en miles y $b=0.85$ como multiplicamos el valor en cualquier año por este factor para obtener el valor del auto en el año siguiente. La fórmula para este problema es $y=32,000 (0.85)^x$ .

Finalmente, para encontrar el valor del auto cuando tenga cuatro años, usamos $x=4$ en la fórmula. Recuerda que el valor esta en miles.

$y=32,000(0.85)^4=16,704.$

Ejemplo C

La vida media del Amiodaron es de 25 días. Supón que un paciente tiene una dosis única de 12 mg de este medicamento en su sistema.

¿Cuánto Amiodaron habrá en el sistema del paciente después de cuatro periodos de vida media?
¿Cuándo tendrá menos de 3 mg del medicamento en su sistema?

Solución:

1. Cuatro periodos de vida media significa que la droga disminuye a la mitad 4 veces:

$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$

Como el paciente empezó con 12 mg, $12\cdot \frac{1}{16}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}=\frac{3}{4}$ .

Habrá $\frac{3}{4}$ mg de Amiodaron en el sistema del paciente después de 4 vidas medias.

2. Tres es la mitad de 6, el cual es la mitad de 12. Por lo tanto 12 mg disminuirá 3 mg después de dos medias vidas. Por lo tanto, después de 50 días, el paciente tendrá menos de 3 mg de Amiodaron en su sistema.

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Orientada

La población de una ciudad se estima que aumente 15% por año. La población actual es 20.000. Haz un gráfico de la función de la población y determina la población dentro de diez años.

Solución: la población crece a una tasa de 15% cada año. Cuando algo crece en porcentajes, esta es una pista para usar funciones exponenciales.

Recuerda, la forma general de una función exponencial es $y=a(b)^x$ , donde $a$ donde $b$ es la tasa de crecimiento total. El valor de inicio es 20.000. Por lo tanto, $a=20,000$ .

La población mantiene la cantidad original de personas y sumando 15% más cada año.

$100\%+15\%=115\%=1.15$

Por lo tanto, la población crece a una tasa de 115% cada año. Así, $b=1.15$ .

La función para representar esta situación es $y=20,000 \ (1.15)^x$ .

Ahora haz una tabla de valores y grafica la función.

$x$	$y = 20 \cdot (1.15)^x$
–10	4,9
–5	9,9
0	20
5	40,2
10	80,9

Nota que usamos valores negativos de $x$ en nuestra tabla. ¿Tiene sentido pensar en tiempo negativo? En este caso $x=-5$ representa la población hace cinco años atrás, por lo que puede ser información útil.

La pregunta en este problema era "¿cuál será la población de la ciudad en diez años a partir de ahora?" Para encontrar la población exacta, usamos $x=10$ en la fórmula. Encontramos $y=20,000 \cdot (1.15)^{10}=80,912$ .

Práctica

El siguiente video presenta explicaciones para algunos de los ejercicios de práctica. Nota que los números de los ejercicios del video no siempre coinciden con el siguiente conjunto de ejercicios de práctica. Sin embargo, los ejercicios son los mismos. CK-12 Basic Algebra: Word Problem Solving (7:21)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Aplica las técnicas de resolución de problemas descritas en esta sección para resolver los siguientes problemas.

Vida media Supón que una sustancia radioactiva decrece a una tasa de 3,5% por hora. ¿Qué porcentaje de la sustancia queda después de cinco horas?
Disminución de la población En 1990, un área rural tenía 1200 especies de aves. Si las especies de aves se extinguen a una tasa de 1,5% cada década (10 años), ¿Cuántas especies quedarán para el año 2020?
Crecimiento Nadia tiene una cadena de restaurantes de comida rápida que operaba 200 locales en 1999. Si la tasa de aumento es de 8% al año, ¿cuántos locales operaba en 2007?
Inversión Peter invierte $360 en una cuenta que paga 7,25% de interés al año. ¿Cuál es el monto total de la cuenta después de 12 años?
Resuelve los siguientes problemas.
La población de una ciudad en el año 2007 es de 113.505 e incrementa a una tasa de 1,2% por año. ¿Cuál será la población en el año 2012?
Un conjunto de bacterias comienza con 20 y se dobla cada 2 horas. ¿Cuántas bacterias habrá en 15 horas después de que comienza el experimento?
El costo de fabricación de productos aumenta a una tasa de inflación o cerca de 2,3%. Supón que un artículo cuesta $12 en la actualidad. ¿Cuánto costará en cinco años desde la inflación?

Resuelve los siguientes problemas.

El costo de un VTT (vehículo todo terreno) es de $7200. Este se devalúa 18% por año.
1. Haz un gráfico del valor del vehículo contra el tiempo en años.
2. Encuentra la fórmula que da el valor del VTT en términos de tiempo.
3. Encuentra el valor del VTT cuando tenga diez años.

La población de Michigan disminuye a una tasa de 0,5% por año. En 2004, el estado tenía una población de 10.112.620.
1. Escribe una función para expresar esta situación.
2. Si esta tasa continua, ¿Cuál será la población en 2012?
3. ¿Cuándo la población de Michigan llegara a 9.900.000?
4. ¿Cuál fue la población en el año 2000, de acuerdo con el modelo?

Una cierta sustancia radioactiva tiene una vida media de 27 años. Un organismo contiene 35 gramos de esta sustancia en el día cero.
1. Dibuja el gráfico de la cantidad restante. Usa los valores para $x: x=0, 27, 54, 81, 108, 135.$
2. Encuentra la función que describe la cantidad de la sustancia restante después de $x$ días.
3. Encuentra la cantidad de sustancia radioactiva después de 92 días.

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