Polinomios en Forma Estándar

En esta Sección aprenderás a clasificar y simplificar polinomios, así como también a reescribir los polinomios en su forma estándar.

Supón que dos terrenos cuadrados tienen un lado de $x$ pies de longitud. En uno de los dos terrenos, la longitud aumenta en 2 pies y el ancho disminuye en 3 pies. En el otro terreno, la longitud aumenta en 3 pies y el ancho disminuye en 4 pies. ¿Cuál es la diferencia de las áreas resultantes de los terrenos? ¿Puedes reescribir la expresión que representa la diferencia en la forma estándar? En esta Sección, aprenderás a clasificar, simplificar y reescribir los polinomios en forma estándar para que puedas producir expresiones como las que aquí se piden.

Orientación

Hasta ahora, hemos visto funciones lineales y funciones exponenciales. Esta Sección presenta las funciones de polinomios.

Definición: Un polinomio es una expresión hecha con exponentes constantees, variables y enteros positivos de las variables.

Un ejemplo de un polinomio es: $4x^3 + 2x^2 - 3x + 1$ . Hay cuatro términos: $4x^3, \ 2x^2, \ 3x,$ y 1. Los números que aparecen en cada término delante de la variable se llaman coeficientes. 4, 2 y 3 son coeficientes porque estos números están delante de una variable. El número que aparece por sí solo sin ninguna variable se llama constante. 1 es la constante porque está por sí mismo.

Ejemplo A

Identifica las siguientes expresiones como polinomios o no polinomios.

(a) $5x^2 - 2x$

(b) $3x^2 - 2x^{-2}$

(d) $\frac{5}{x^3 + 1}$

(e) $4x^{\frac{1}{3}}$

(f) $4xy^2 - 2x^2y - 3 + y^3 - 3x^3$

Solución:

(a) $5x^2 - 2x$ Este es un polinomio.

(b) $3x^2 - 2x^{-2}$ Este no es un polinomio porque tiene un exponente negativo.

(d) $\frac{5}{x^3 + 1}$ Este no es un polinomio porque aparece $x$ en el denominador.

(e) $4x^{\frac{1}{3}}$ Este not es un polinomio porque tiene un exponente fraccional.

(f) $4xy^2 - 2x^y - 3 + y^3 - 3x^3$ Este es un polinomio.

Clasificar Polinomios por Grado

El grado de un polinomio es el mayor exponente de un único término.

$4x^3$ tiene un grado de 3 y se llama término cúbico o término de $3^{rd}$ tercer orden .
$2x^2$ tiene un grado de 2 y se llama término cuadrático o término de $2^{nd}$ orden .
$-3x$ tiene un grado de 1 y se llama término lineal otérmino de $1^{st}$ orden.
" 1 tiene un grado de 0 porque no hay variable.

Los polinomios pueden tener más de una variable. Aquí hay otro ejemplo de un polinomio: $t^4-6s^3t^2-12st+4s^4-5$ . Este es un polinomio porque todos los exponentes en las variables son enteros positivos. Este polinomio tiene cinco términos Nota: El grado de un término es la suma de las potencias en cada variable en el término.

$t^4$ tiene un grado de 4, por lo que es un término de $4^{th}$ orden.

$-6s^3t^2$ tiene un grado de 5, por lo que es un término de $5^{th}$ orden.

$-12^{st}$ tiene un grado de 2, por lo que es un término de $2^{nd}$ orden.

$4s^4$ tiene un grado de 4, por lo que es término de $4^{th}$ orden.

–5 es una constante, por lo que su grado es 0.

Ya que el mayor grado de un término en este polinomio es 5, este es un polinomio de grado 5 o un polinomio de $5^{th}$ orden.

Ejemplo B

Identifica el coeficiente de cada término, el grado de cada término y el grado del polinomio.

$x^4-3x^3y^2+8x-12$

Solución: Los coeficientes de cada término en orden son 1, -3 y 8, y la constante es -12.

Los grados de cada término son 4, 5, 1 y 0. Por lo tanto, el grado del polinomio es 5.

Un monomio es un polinomio de un término. Puede ser una constante, una variable o una variable con coeficiente. Los siguientes son ejemplos de monomios: $b^2; \ 6; \ -2ab^2; \ \frac{1}{4} x^2$

Reescribir Polinomios en Forma Estándar

A menudo, ordenamos los términos de un polinomio en forma estándar en la cual el término con el mayor grado va primero, seguido por los otros términos en orden decreciente según las potencias. El primer término de un polinomio en esta forma se llama término principal , y el coeficiente en este término se conoce como coeficiente principal. .

Ejemplo C

Reordena los términos en los siguientes polinomios para que queden en la forma estándar. Indica el término principal y el coeficiente principal de cada polinomio.

(a) $7-3x^3+4x$

(b) $ab-a^3+2b$

Solución:

(a) $7-3x^3+4x$ se reordena como $-3x^3+4x+7$ . El término principal es $-3x^3$ y el coeficiente principal es –3.

(b) $ab-a^3+2b$ se reordena como $-a^3+ab+2b$ . El término principal es $-a^3$ y el coeficiente principal es –1.

Simplificar Polinomios

Un polinomio se simplifica si no tiene términos similares. Los términos principales en el polinomio tienen las mismas variables con los mismos exponentes, pero pueden tener coeficientes diferentes.

$2x^2y$ y $5x^2y$ son términos similares.

$6x^2y$ y $6xy^2$ no son términos similares.

Si tenemos un polinomio que tiene términos similares, podemos simplificarlo combinándolos.

$& x^2 + \underline{6xy}-\underline{4xy} + y^2\\\& \qquad \nearrow \qquad \nwarrow\\\& \qquad \text{Like terms}$

Este polinomio se puede simplificar combinando los términos similares: $6xy-4xy=2xy$ . Escribimos el polinomio simplificado como $x^2+2xy+y^2$ .

Ejemplo D

Simplifica recolectando y combinando los términos similares.

$a^3b^3 - 5ab^4 + 2a^3b - a^3b^3 + 3ab^4 - a^2b$

Solución: Usa la Propiedad Conmutativa de Adición para reorganizar los términos similares y luego simplifica.

$& = (a^3b^3-a^3b^3) + (-5ab^4+3ab^4) + 2a^3b-a^2b\\\& = 0-2ab^4+2a^3b-a^2b\\\& = -2ab^4+2a^3 b-a^2 b$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Simplifica y reescribe los siguientes polinomios en la forma estándar. Establece el grado del polinomio.

$16x^2y^3-3xy^5-2x^3y^2+2xy-7x^2y^3+2x^3y^2$

Solución:

Comienza simplificando y combinando los términos similares:

$16x^2y^3-3xy^5-2x^3y^2+2xy-7x^2y^3+2x^3y^2=(16x^2y^3-7x^2y^3)-3xy^5+(-2x^3y^2+2x^3y^2)+2xy=9x^2y^3-3xy^5+2xy$

Para reescribir en la forma estándar, necesitamos determinar el grado de cada término. El primer término tiene un grado de $2+3=5$ , el segundo tiene un grado de $1+5=6$ , y el último término tiene un grado de $1+1=2$ . Reescribiremos los términos de mayor a menor grado:

$-3xy^5+9x^2y^3+2xy$

El grado de un polinomio es el mayor grado de todos los términos. En este caso es 6.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Addition and Restaion of 1. Polinomios (15:59)

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Define los siguientes términos clave.

1. Polinomio
Monomio
Grado
Coeficiente Principal

Para cada una de las siguientes expresiones, decide si es o no un polinomio. Justifica tu respuesta.

$x^2+3x^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{3}x^2y-9y^2$
$3x^{-3}$
$\frac{2}{3}t^2-\frac{1}{t^2}$

Escribe cada polinomio en su forma estándar. Da el grado de cada polinomio.

$3-2x$
$8x^4-x+5x^2+11x^4-10$
$8-4x+3x^3$
$-16+5f^8-7f^3$
$-5+2x-5x^2+8x^3$
$x^2-9x^4+12$

Revisión Mixta

Resuelve graficando $\begin{cases}y=\frac{1}{3} x-4\\\y=-4x+10 \end{cases}$ .
Calcula $u$ : $12=- \frac{4}{u}$ .
Grafica en un plano cartesiano.
1. Establece su dominio y rango.
2. ¿Cómo ha cambiado este gráfico a partir de la función modelo $f(x)=|x|$ ?

Se lanzan dos dados. Se registra la suma de los valores.
1. Define el espacio de muestreo.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea nueve?

Considera la ecuación .
1. Realiza el gráfico de esta función.
2. ¿Es crecimiento o decrecimiento exponencial?
3. ¿Cuál es el valor inicial?
4. ¿Cuál es el dominio y rango?
5. ¿Cuál es el valor cuando $x=9.5$ ?

Escribe una ecuación para la línea perpendicular a $y=-5$ y que contiene el par ordenado (6, –5).

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