Multiplicar Monomios por Polinomios

En esta Sección aprenderás a multiplicar monomios por polinomios.

¿Sabías que la fórmula para el volumen de una pirámide es $V= \frac{1}{3}Bh$ , donde $B$ es el área de la base de la pirámide y $h$ es la altura de la pirámide? ¿Qué sucedería si el área de la base de la pirámide fuese $x^2 + 6x + 8$ y la altura $9x$ ? ¿Cuál sería el volumen de la pirámide? En esta Sección, aprenderás a multiplicar un polinomio por un monomio para que puedas responder preguntas como esta.

Orientación

Cuando multiplicamos polinomios, debemos recordar las reglas de exponentes que aprendimos en Secciones anteriores, como la Regla del Producto. Esta regla establece que si multiplicamos expresiones que tienen la misma base, solo sumamos los exponentes y mantenemos la base intacta. Si las expresiones que estamos multiplicando tienen coeficientes y más de una variable, multiplicamos los coeficientes tal como lo haríamos con cualquier número. También aplicamos la regla del producto en cada variable por separado.

Ejemplo A

Multiplica $(2x^2 y^3) \times (3x^2 y)$ .

Solución:

$(2x^2 y^3) \times (3x^2 y)=(2\cdot3) \times (x^2 \cdot x^2) \times (y^3 \cdot y)=6x^4 y^4$

Multiplicar un Polinomio por un Monomio

Esta es la multiplicación más simple de polinomios. Los problemas son como el siguiente.

Ejemplo B

Multiplica los siguientes monomios.

(a) $(2x^2)(5x^3)$

(d) $(-12a^2b^3c^4)(-3a^2b^2)$

Soluciones:

(a) $(2x^2)(5x^3)=(2 \cdot 5)\cdot (x^2 \cdot x^3) = 10x^{2+3}=10x^5$

(d) $(-12a^2b^3c^4)(-3a^2b^2) = 36a^{2+2}b^{3+2}c^4=36a^4b^5c^4$

Para multiplicar monomios, usamos la Propiedad Distributiva.

Propiedad Distributiva: Para cada una de las expresiones $a, \ b$ , y $c$ , $a(b+c)=ab+ac$ .

Esta propiedad se puede usar para números así como también para variables. Esta propiedad se entiende mejor con un problema de área. Podemos encontrar el área del rectángulo grande de dos formas.

Una forma es usar la fórmula del área del rectángulo.

$Area \ of \ the \ big \ rectangle & = Length \times Width\\\Length & = a, \ Width = b + c\\\Area & = a \times (b + c)$

El área del rectángulo grande también se puede encontrar sumando las áreas de los dos rectángulos más pequeños.

$Area \ of \ red \ rectangle & = ab\\\Area \ of \ blue \ rectangle & = ac\\\Area \ of \ big \ rectangle & = ab + ac$

Esto significa que $a(b+c)=ab+ac$ .

En general, si tenemos un número o variable delante de un paréntesis, esto significa que cada término dentro del paréntesis se multiplica por la expresión delante del paréntesis.

$a(b+c+d+e+f+\ldots)=ab+ac+ad+ae+af+ \ldots$ Los "..." significa "y así sucesivamente".

Ejemplo C

Multiplica $2x^3 y(-3x^4 y^2+2x^3 y-10x^2+7x+9)$ .

Solución:

$& 2x^3 y(-3x^4 y^2+2x^3 y-10x^2+7x+9)\\\& = (2x^3 y)(-3x^4 y^2 )+(2x^3 y)(2x^3 y)+(2x^3 y)(-10x^2 )+(2x^3 y)(7x)+(2x^3 y)(9)\\\& = -6x^7 y^3+4x^6 y^2-20x^5 y+14x^4 y+18x^3 y$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Multiplica $-2a^2b^4(3ab^2+7a^3b-9a+3)$ .

Solución:

Multiplica el monomio por cada término dentro del paréntesis:

$& -2a^2b^4(3ab^2+7a^3b-9a+3)\\\& = (-2a^2b^4)(3ab^2)+(-2a^2b^4)(7a^3b)+(-2a^2b^4)(-9a)+(-2a^2b^4)(3)\\\& = -6a^3b^6-14a^5b^5+18a^5b^4-6a^2b^4$

Práctica

Multiplica los siguientes monomios.

$(2x)(-7x)$
$4(-6a)$
$(-5a^2b)(-12a^3b^3)$
$(-5x)(5y)$
$y(xy^4)$
$(3xy^2z^2)(15x^2yz^3)$

Multiplica y simplifica.

$x^8 (xy^3+3x)$
$2x(4x-5)$
$6ab(-10a^2 b^3+c^5)$
$9x^3(3x^2-2x+7)$
$-3a^2b(9a^2-4b^2)$

Revisión Mixta

Da un ejemplo de un trinomio de grado cuatro en la variable $n$ .
Encuentra los siguientes cuatro términos de la secuencia $1,\frac{3}{2},\frac{9}{4},\frac{28}{8}, \ldots$
Reece lee tres libros por semana.
1. Haz una tabla de los valores de la semana cero hasta seis.
2. Realiza un modelo para esta información.
3. Cuándo habrá leído Reece 63 libros?

Escribe 0,062% como un decimal.
Evalúa $ab\left ( a+\frac{b}{4} \right )$ cuando $a=4$ y $b=-3$ .
Calcula $s$ : $3s(3+6s)+6(5+3s)=21s$ .

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