Multiplicación de Polinomios por Binomios

En esta Sección aprenderás a multiplicar un polinomio por un binomio.

Supón que una fábrica necesita incrementar el número de unidades que produce. Actualmente, tiene $w$ obreros y en promedio cada, trabajador produce $u$ unidades. Si se incrementa el número de trabajadores en 100 y se realizan cambios en los procesos para que cada trabajador produzca en promedio 20 unidades más, ¿cuántas unidades en total producirá? ¿Qué debes hacer para encontrar la respuesta? Después de haber completado esta Sección, serás capaz de multiplicar un polinomio por un binomio para que puedas realizar esta operación.

Orientación

Un binomio es un polinomio con dos términos. La Propiedad Distributiva también aplica para multiplicar binomios. Pensemos en el primer paréntesis como un término. La Propiedad Distributiva establece que el término delante del paréntesis multiplica cada término dentro de este por separado. Entonces, sumamos los resultados de los productos.

$(a+b)(c+d)=(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d$ Reescribamos esta respuesta como $c\cdot (a+b)+d\cdot (a+b)$ .

Vemos que podemos aplicar la Propiedad Distributiva a cada paréntesis de uno en uno.

$c \cdot (a+b)+d\cdot (a+b)=c\cdot a+c \cdot b+d \cdot a+d \cdot b \ (\text{or} \ ca+cb+da+db)$

Lo que debes notar es que cuando multiplicamos dos polinomios cualquiera, cada término en un polinomio se multiplica por cada término en el otro polinomio. .

Ejemplo A

Multiplica y simplifica $(2x+1)(x+3)$ .

Solución: Debemos multiplicar cada término en el primer polinomio con cada término en el segundo polinomio. Primero, multiplicamos el primer término en el primer paréntesis por todos los términos en el segundo paréntesis.

Ahora, multiplicamos el segundo término en el primer paréntesis por todos los términos en el segundo paréntesis y los sumamos con los términos anteriores.

Ahora, podemos simplificar.

$(2x)(x)+(2x)(3)+(1)(x)+(1)(3) & = 2x^2+6x+x+3\\\& = 2x^2+7x+3$

Ejemplo B

Multiplica y simplifica $(4x-5)(x^2+x-20)$ .

Solución:

Multiplica el primer término en el binomio por cada término del polinomio y entonces, multiplica el segundo término en el monomio por cada término en el polinomio: $(4x)(x^2)+(4x)(x)+(4x)(-20)+(-5)(x^2)+(-5)(x)+(-5)(-20)&=4x^3+4x^2-80x-5x^2-5x+100\\\& = 4x^3-x^2-85x+100$

Resolver Problemas Cotidianos Usando la Multiplicación de Polinomios

Podemos usar la multiplicación para encontrar el área y el volumen de figuras geométricas. Observa estos ejemplos.

Ejemplo C

Encuentra el área de la siguiente figura.

Solución: Usamos la fórmula del área de un rectángulo $\text{Area}=\text{length}\cdot\text{width}$ . Para el rectángulo grande:

$\text{Length} & = B+3, \ \text{Width}=B+2\\\\text{Area} &= (B+3)(B+2)\\\& = B^2+2B+3B+6\\\& = B^2+5B+6$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Encuentra el volumen de la siguiente figura.

Solución:

$The \ volume \ of \ this \ shape & = (area \ of \ the \ base) \cdot (height).\\\\text{Area of the base} & = x(x+2)\\\& = x^2+2x$

$Volume&=(area \ of \ base ) \times height\\\Volume&=(x^2+2x)(2x+1)$

Ahora, multiplica los dos binomios.

$Volume&=(x^2+2x)(2x+1)\\\&= x^2\cdot 2x+x^2\cdot 1+2x\cdot 2x+ 2x\cdot 1\\\&= 2x^3+x^2+2x^2+2x\\\&=2x^3+3x^2+2x$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Multiplication of 1. Polinomios (9:49)

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Multiplica y simplifica.

$(x-2)(x+3)$
$(a+2)(2a)(a-3)$
$(-4xy)(2x^4 yz^3 -y^4 z^9)$
$(x-3)(x+2)$
$(a^2+2)(3a^2-4)$
$(7x-2)(9x-5)$
$(2x-1)(2x^2-x+3)$
$(3x+2)(9x^2-6x+4)$
$(a^2+2a-3)(a^2-3a+4)$
$(3m+1)(m-4)(m+5)$

Encuentra las áreas de las siguientes figuras.

Encuentra el volumen de las siguientes figuras.

Revisión Mixta

Simplifica $5x(3x+5)+11(-7-x)$ .
La Cal High School tiene cursos de 1° Medio a 4° Medio. De la cantidad de estudiantes, , $\frac{1}{4}$ son de 1° Medio, $\frac{2}{5}$ son de 2° Medio, $\frac{1}{6}$ son de 3° Medio y 130 son de 4° Medio. Aproximando la persona más cercana, ¿Cuántos estudiantes hay en 2° Medio grado? 17. Kerrie está trabajando en una juguetería y debe organizar 12 osos en un estante. ¿En cuántas formas puede realizar esto? 18. Encuentra la pendiente entre y . 19. Si , ¿cuántos kilos pesa una persona de 260 libras? 20. Calcula : . 21. ¿Es una función? Usa la definición de una función para explicar. Productos Especiales de Polinomios En esta Sección aprenderás a encontrar productos especiales de dos binomios. Supón que la entrada de una casa para perros es un 3° Medio y 130 son de 4° Medio. Aproximando la persona más cercana, ¿Cuántos estudiantes hay en 2° Medio grado?
Kerrie está trabajando en una juguetería y debe organizar 12 osos en un estante. ¿En cuántas formas puede realizar esto?
Encuentra la pendiente entre $\left ( \frac{3}{4},1 \right )$ and $\left ( \frac{3}{4}, -16 \right )$ .
Si $1 \ lb=454 \ grams$ , ¿cuántos kilos pesa una persona de 260 libras?
Calcula $v$ : $|16-v|=3$ .
¿Es $y=x^4+3x^2+2$ una función? Usa la definición de una función para explicar.

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