Productos Especiales de Polinomios

En esta Sección aprenderás a encontrar productos especiales de dos binomios.

Supón que la entrada de una casa para perros es un cuadrado, con una altura de $x$ pulgadas y un ancho de $x$ pulgadas. Debido a que tu mascota a crecido,necesitas incrementar la altura y el ancho en 4 pulgadas. ¿Cuál será el área de la entrada resultante de la casa para perros? Si la altura se ha incrementado en 4 pulgadas, mientras que el ancho se ha disminuido en 4 pulgadas, ¿cuál será el área entonces? En esta Sección, aprenderás sobre productos especiales de polinomios, así sabrás qué hacer en situaciones como esta.

Orientación

Cuando multiplicamos dos binomios lineales (de grado 1), creamos un polinomio cuadrático (de grado 2) con cuatro términos. Los términos del medio son términos similares, por lo que podemos combinarlos y simplificarlos para obtener un trinomio cuadrático o de grado 2 (polinomio con tres términos). En esta Sección, hablaremos sobre algunos productos especiales de binomios.

Encontrar el Cuadrado de un Binomio

Un producto especial de un binomio es el cuadrado de un binomio . Considera la siguiente multiplicación: $(x+4)(x+4)$ . Estamos multiplicando la misma expresión por sí misma, lo que significa que estamos elevando al cuadrado la expresión. Esto significa que:

$(x+4)(x+4) & = (x+4)^2\\\(x+4)(x+4) & = x^2+4x+4x+16=x^2+8x+16$

Esto sigue el patrón general de la siguiente regla.

Cuadrado de un Binomio: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , y $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Pon atención acerca del error común $(a+b)^2=a^2+b^2$ . Para ver por qué $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ , intenta sustituir números por $a$ y $b$ hacia la ecuación (por ejemplo, $a=4$ y $b=3$ ), y verás que esta no es un enunciado verdadero. El término del medio, $2ab$ , se necesita para que la ecuación funcione.

Ejemplo A

Simplifica multiplicando: $(x+10)^2$ .

Solución: Usa el cuadrado de la fórmula del binomio, sustituyendo $a=x$ y $b=10$

$(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\\(x+10)^2 & =(x)^2+2(x)(10)+(10)^2=x^2+20x+100$

Encontrar el Producto de Binomios Usando los Patrones de Suma y Diferencia

Otro producto especial de binomio es el producto de una suma y una resta de términos. Por ejemplo, multipliquemos los siguientes binomios.

$(x+4)(x-4) & = x^2-4x+4x-16\\\& = x^2-16$

Nota que los términos del medio son opuestos entre sí, por lo que anulan mutuamente cuando recolectamos términos semejantes. Esto siempre ocurre cuando multiplicamos una suma y una diferencia de los mismos términos.

$(a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\\\& =a^2-b^2$

Cuando multiplicamos una suma y diferencia de los dos mismos términos, los términos del medio se anulan. Obtenemos el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Siempre debes recordar esta fórmula.

Fórmula de Suma y Diferencia: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$

Ejemplo B

Multiplica los siguientes binomios y simplifica.

$(5x+9)(5x-9)$

Solución: Usa la fórmula anterior, con $a=5x$ y $b=9$ . Multiplica.

$(5x+9)(5x-9)=(5x)^2-(9)^2=25x^2-81$

Resolver Problemas Cotidianos Usando Productos Especiales de Polinomios

Ahora, veamos cómo aplicar los productos especiales de polinomios a problemas de geometría y a aritmética mental. Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo C

Encuentra el área del cuadrado.

Solución: $The \ area \ of \ the \ square = side \times side$ .

$\text{Area} & = (a+b)(a+b)\\\& = a^2+2ab+b^2$

Nota que esto proporciona una explicación visual del cuadrado del producto de binomios.

$Area \ of \ big \ square: (a+b)^2 = Area \ of \ blue \ square = a^2+2 \ (area \ of \ yellow) = 2ab + area \ of \ red \ square = b^2$

El siguiente ejemplo nos muestra cómo usar los productos especiales al hacer cálculos mentales rápidos.

Ejemplo D

Encuentra los productos de los siguientes números sin usar calculadora.

(a) $43 \times 57$

(b) $45^2$

Solución: La clave de estos "trucos" mentales es reescribir cada número como una suma o diferencia de números que tu sabes como elevarlos al cuadrado fácilmente.

(a) Reescribe $43=(50-7)$ y $57=(50+7)$ .

Entonces $43 \times 57 = (50-7)(50+7) = (50)^2-(7)^2=2500-49=2,451$ .

(b) $45^2 = (40+5)^2 = (40)^2+2(40)(5) +(5)^2 = 1600+400+25=2,025$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Multiplica $(2x+3y)(2x-3y)$ .

Solución:

Para obtener los patrones de productos especiales, aplica la propiedad distributiva para ver qué pasará:

$(2x+3y)(2x-3y)&=\\\2x(2x-3y)+3y(2x-3y)&=\\\2x(2x)+2x(-3y)+3y(2x)+3y(-3y)&=\\\4x^2-6xy+6xy-9y^2&=\\\4x^2-9y^2$

Observa cómo los términos del medio se anulan entre sí. Esto siempre pasa, que es cuando obtenemos el producto de la suma y diferencia. Compara las respuestas anteriores con las que obtuviste usando el producto de suma y diferencia:

$(a+b)(a-b) = a^2-b^2 \Rightarrow (2x+3y)(2x-3y)=(2x)^2-(3y)^2=2^2x^2-3^2y^2=4x^2-9y^2$

Las dos respuestas son iguales. Puedes usar el producto de la suma y diferencia como un atajo, para que no tengas que siempre realizar todo el proceso de multiplicar usando la propiedad distributiva.

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Special Products of Binomials (10:36)

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Usa el producto especial para elevar binomios al cuadrado para multiplicar estas expresiones.

$(x+9)^2$
$(x-1)^2$
$(2y+6)^2$
$(3x-7)^2$
$(7c+8)^2$
$(9a^2+6)^2$
$(b^2-1)^2$
$(m^3+4)^2$
$\left ( \frac{1}{4} t+2 \right )^2$
$(6k-3)^2$
$(a^3-7)^2$
$(4x^2+y^2)^2$
$(8x-3)^2$

Usa el producto especial de suma y diferencia para multiplicar estas expresiones.

$(2x-1)(2x+1)$
$(2x-3)(2x+3)$
$(4+6x)(4-6x)$
$(6+2r)(6-2r)$
$(-2t+7)(2t+7)$
$(8z-8)(8z+8)$
$(3x^2+2)(3x^2-2)$
$(x-12)(x+12)$
$(5a-2b)(5a+2b)$
$(ab-1)(ab+1)$

Encuentra el área del cuadrado naranjo en la siguiente figura. Es la caja más baja y ensombrecida.

Multiplica los siguientes números usando los productos especiales.

$45\times 55$
$97 \times 83$
$19^2$
$56^2$
$876 \times 824$
$1002 \times 998$
$36 \times 44$

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