Factorizar Monomios de Polinomios

En esta Sección aprenderás a identificar el máximo factor común para los términos en un polinomio para que puedas simplificar por medio de la factorización.

Supón que la altura de una pelota de golf sobre el suelo se representa por la expresión $-2x^2 + 20x$ , donde $x$ es el desplazamiento horizontal de la pelota. ¿Cuál es el máximo factor común de los términos en esta expresión? ¿Puedes usar el máximo factor común para factorizar la expresión? En esta Sección, aprenderás a encontrar factores monomios de polinomios como el que representa la altura de la pelota de golf en este ejemplo.

Orientación

Hemos estado multiplicando polinomios usando la Propiedad Distributiva, donde todos los términos en un polinomio se deben multiplicar por todos los términos en el otro polinomio. En esta Sección, aprenderás a hacer este proceso usando un método diferente llamado factorización .

Factorizaización: Toma los factores que son comunes a todos los términos en un polinomio. Luego, multiplica los factores comunes por una expresión parentética que contenga todos los términos que son comunes a todos los términos en un polinomio. Entonces, multiplica los factores comunes por uno que contenga todos los términos que sobraron cuando dividiste los factores comunes.

Observemos las áreas de los rectángulos otra vez: $Area = length \times width$ . El área total de la figura de la derecha se puede encontrar de dos formas.

Método 1: Encuentra las áreas de los rectángulos pequeños y luego súmalos.

Rectángulo azul $= ab$

Rectángulo naranja $= ac$

Rectángulo rojo $=ad$

Rectángulo verde $=ae$

Rectángulo púrpura $=2a$

Área Total $=ab+ac+ad+ae+2a$

Método 2: Encuentra el área del rectángulo grande de una vez.

$\text{Length} & = a\\\\text{Width} & = b+c+d+e+2\\\\text{Area} & = a(b+c+d+e+2)$

Las respuestas son las mismas, no importa el método que uses:

$ab+ac+ad+ae+2a=a(b+c+d+e+2)$

Encontrar el Máximo Factoriza Monomio Común

Una vez que tengamos un polinomio en forma de factor, es más fácil resolver la ecuación de polinomios. Pero primero, necesitamos aprender cómo factorizar. Factorizar puede requerir varios pasos porque queremos factorizar completamente hasta que no podamos hacerlo más.

Un factor común puede ser un número, una variable o una combinación de números y variables que aparecen en cada término del polinomio.

Cuando se factoriza un factor común a partir de un polinomio, divides cada término por el factor común. Lo que queda permanece en paréntesis.

Ejemplo A

Factoriza:

$15x-25$
$3a+9b+6$

Solución:

1. Vemos que el factor de 5 divide equitativamente a todos los términos.

$15x-25=5(3x-5)$

2. Vemos que el factor 3 divide equitativamente todos los términos.

$3a+9b+6=3(a+3b+2)$

Ahora, usaremos los ejemplos donde diferentes potencias se pueden factorizar y donde existe más de un factor común.

Ejemplo B

Encuentra el máximo factor común.

$a^3-3a^2+4a$

Solución:

Observa que el factor $a$ aparece en todos los términos de $a^3-3a^2+4a$ pero cada término tiene una diferente potencia de $a$ . El factor común es la potencia más pequeña que aparece en la expresión. En este caso, el factor es $a$ .

Reescribamos: $a^3-3a^2+4a=a(a^2)+a(-3a)+a(4)$

Factoriza $a$ para obtener $a(a^2-3a+4)$ .

Ejemplo C

Encuentra el máximo factor común.

$5x^3y-15x^2y^2+25xy^3$

Solución:

El factor común es $5xy$ .

Cuando factorizamos $5xy$ , obtenemos $5xy(x^2-3xy+5y^2)$ .

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Encuentra el máximo factor común.

$16x^2y^3z^2+4x^3yz+8x^2y^4z^5$

Solución:

Primero, observa los coeficientes para ver si comparten algún factor común. Sí, comparten: 4.

Primero, observa los coeficientes para ver si comparten algún factor común. Sí, comparten: 4. $x$ es $x^2$ . Las potencias más pequeñas de $y$ y $z$ están elevadas a la primera potencia.

Esto significa que podemos excluir $4x^2yz$ . Ahora, debemos determinar qué es lo que queda en cada término después de excluir $4x^2yz$ :

$16x^2y^3z^2+4x^3yz+8x^2y^4z^5=4x^2yz(4y^2z+x+2y^3z^4)$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos CK-12 Basic Algebra: 1. Polinomio Equations in Factorizaed Form (9:29)

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Factoriza el factor común de los siguientes polinomios.

$36a^2+9a^3-6a^7$
$yx^3 y^2+12x+16y$
$3x^3-21x$
$5x^6+15x^4$
$4x^3+10x^2-2x$
$-10x^6+12x^5-4x^4$
$12xy+24xy^2+36xy^3$
$5a^3-7a$
$45y^{12}+30y^{10}$
$16xy^2z+4x^3y$

Repaso Mixto

Reescribe en la forma estándar: $-4x+11x^4-6x^7+1-3x^2$ . Estable el grado del polinomio y el coeficiente principal.
Simplifica $(9a^2-8a+11a^3)-(3a^2+14a^5-12a)+(9-3a^5-13a)$ .
Multiplica $\frac{1}{3} a^3$ by $(36a^4+6)$ .
Melissa prepara una tabla para picar combinando onzas de una mezcla de 40% de castañas de cajú con onzas de una mezcla de 30% de una mezcla de castañas de cajú. El resultado es 12 onzas de castañas de cajú.
1. Escribe la ecuación para representar esta situación.
2. Grafica usando sus interceptos.
3. Proporciona tres combinaciones posibles para hacer que este enunciado sea verdadero.

Explica cómo usar el cálculo mental para simplificar 8(12,99).

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