Propiedad del Producto Cero

Aquí, encontrarás las soluciones para ecuaciones de polinomios usando la Propiedad del Producto Cero.

¿Qué pasaría si conoces que el área de una pizarra es de 48 pies cuadrados y también sabes que el área en pies cuadrados se puede representar con la expresión $x^2 + 2x$ ? Supón que has escrito una ecuación, moviste todos los términos a un lado y factorizaste. ¿Cómo podrías encontrar el valor de $x$ ? En esta Sección, aprenderás a resolver ecuaciones de polinomios como este usando la Propiedad del Producto Cero.

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Enlace Multimedia: Para mayor información de la Propiedad del Producto Cero, observa esto: CK-12 Basic Algebra: Zero Product Property

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Orientación

1. Los polinomios se pueden escribir en la forma expandida o en la forma factorizada . La forma expandida quiere decir que tienes las sumas y diferencias de los diferentes términos:

$6x^4+7x^3-26x^2-17x+30$

Nota que el grado del polinomio es cuatro.

La forma factorizada de un polinomio quiere decir que está escrito como un producto de sus factores.

Los factores también son polinomios, a menudo de un grado menor. Aquí está el mismo polinomio en la forma factorizada.

$(x-1)(x+2)(2x-3)(3x+5)$

Supón que queremos saber si el polinomio $6x^4+7x^3-26x^2-17x+30$ es igual a cero. Es algo difícil resolver esto usando los métodos que ya conocemos. Sin embargo, podemos usar la Propiedad del Producto Cero.

Propiedad del Producto Cero: La única manera de que un producto sea cero es si uno o ambos términos es cero.

Igualando la forma factorizada del polinomio a cero y usando esta propiedad, podemos resolver fácilmente el polinomio original.

Ejemplo A

Calcula $x$ : $(x-1)(x+2)(2x-3)(3x+5)=0$ .

Solución: De acuerdo con la propiedad, para igualar el polinomio original a cero, debemos igualar cada término a cero y resolver.

$(x-1)&=0 \rightarrow x=1\\\(x+2)&=0 \rightarrow x=-2\\\(2x-3)&=0 \rightarrow x=\frac{3}{2}\\\(3x+5)&=0 \rightarrow x=-\frac{5}{3}$

Las soluciones de $6x^4+7x^3-26x^2-17x+30=0$ son las siguientes: $x=-2,-\frac{5}{3},1,\frac{3}{2}$ .

Ejemplo B

Resuelve $(x-9)(3x+4)=0$ .

Solución: Separa los factores usando la Propiedad del Producto Cero: $(x-9)(3x+4)=0$ .

$x-9=0 && \text{or} && 3x+4=0\\\x=9 && && 3x=-4\\\&& && x=\frac{-4}{3}$

Resolver Ecuaciones Simples de Polinomios Factorizaizando

Ya hemos visto cómo usar la Propiedad del Producto Cero para resolver polinomios en forma factorizada. Aquí, aprenderás a resolver polinomios en la forma expandida. Estos son los pasos del proceso.

Paso 1: Reescribe la ecuación en forma estándar de tal forma que: Expresión del polinomio $= 0$ .

Paso 2: Factoriza el polinomio completamente.

Paso 3: Usa la regla del producto cero para igualar cada factor a cero.

Paso 4: Resolver cada ecuación del paso 3.

Paso 5: Comprueba tus respuestas sustituyendo tus soluciones en la ecuación original.

Ejemplo C

Resuelve la siguiente ecuación de polinomio:

$10x^3-5x^2=0$ .

Solución:

Primero, factoriza removiendo el mayor factor común. Ya que ambos términos tienen al menos $5x^2$ como un factor, los removeremos.

$10x^3-5x^2&=0\\\5x^2(2x-1)&=0$

Separa cada factor e iguálalo a cero:

$5x^2=0 && \text{or} && 2x-1=0\\\x^2=0 && && 2x=1\\\x=0&& && x=\frac{1}{2}$

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Resuelve la siguiente ecuación de polinomio.

$x^2-2x=0$

Solución: $x^2-2x=0$

Reescribe : Esto no es necesario ya que la ecuación está en la forma correcta.

Factoriza : El factor común es $x$ , entonces esto se factoriza como: $x(x-2)=0$ .

Iguala cada factor a cero.

$x=0 && \text{or} && x-2=0$

Resuelve :

$x=0 && \text{or} && x=2$

Comprueba : Substituya cada solución en la ecuación original.

$x=0 && (0)^2-2(0)=0\\\x=2 && (2)^2-2(2)=0$

Respuesta $x=0, \ x=2$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos . CK-12 Basic Algebra: 1. Polinomio Equations in Factorizaed Form (9:29)

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1. ¿Qué es la Propiedad del Producto Cero? ¿En qué forma esto facilita resolver polinomios complejos?

¿Por qué no se puede usar la Propiedad del Producto Cero para resolver los siguientes polinomios?

$(x-2)(x)=2$
$(x+6)+(3x-1)=0$
$(x^{-3})(x+7)=0$
$(x+9)-(6x-1)=4$
$(x^4)(x^2-1)=0$

Resuelve las siguientes ecuaciones de polinomios.

$x(x+12)=0$
$(2x+3)(5x-4)=0$
$(2x+1)(2x-1)=0$
$24x^2-4x=0$
$60m=45m^2$
$(x-5)(2x+7)(3x-4)=0$
$2x(x+9)(7x-20)=0$
$18y-3y^2=0$
$9x^2=27x$
$4a^2+a=0$
$b^2-\frac{5}{3b}=0$

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