Factorizaización de Expresiones Cuadráticas

Aquí, aprenderás a determinar qué son los factores de una expresión cuadrática.

Supón que la altura en la que encuentras sobre el nivel del mar cuando estás sobre una colina se puede representar por la expresión $-x^2 + 16x + 63$ , donde $x$ es la distancia horizontal recorrida. Si quisieras factorizar esta expresión, ¿podrías hacerlo? ¿Qué pasos deberías seguir? Después de completar esta Sección, sabrás qué hacer para factorizar una expresión como esta.

Orientación

En esta Sección, aprenderemos a factorizar polinomios cuadráticos para diferentes valores de $a,\ b$ , y $c$ . En la Sección anterior, hemos factorizado monomios comunes, por lo que ya sabes cómo factorizar polinomios donde $c=0$ .

Factorizar Expresiones Cuadráticas en la Forma Estándar

Los polinomios cuadráticos son polinomios de grado 2. La forma estándar de un polinomio cuadrático es $ax^2+bx+c$ , donde $a,\ b$ , y $c$ son números reales. .

Ejemplo A

Factoriza $x^2+5x+6$ .

Solución: Estamos buscando una respuesta que es el producto de los dos binomios de los paréntesis: $(x+ \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )$ .

Para llenar los espacios en blanco, queremos dos números $m$ y $n$ que se multipliquen por 6 y sumamos 5. Una buena estrategia es hacer una lista de las posibles formas en las que podemos multiplicar dos números que nos den 6 y luego ver cuál de estos pares de números suma 5. El número seis se puede escribir como el producto de:

$6&=1 \times 6 \qquad and \qquad 1+6=7\\\6&=2 \times 3 \qquad and \qquad 2+3=5$

Entonces la respuesta es $(x+2)(x+3)$ .

Podemos comprobar si esto es correcto multiplicando $(x+2)(x+3)$ .

$x$ se multiplica por $x$ y $3 =x^2+3x$ .

2 se multiplica por $x$ y $3 =2x+6$ .

Combina los términos semejantes: $x^2+5x+6$ .

Ejemplo B

Factoriza $x^2-6x+8$ .

Solución: Estamos buscando una respuesta para el producto de estos dos binomios en los paréntesis: $(x+ \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )(x + \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )$ .

El número 8 se puede escribir como el producto de los siguientes números.

$8=1\cdot 8$ y $1+8=9$ Nota que estas son dos alternativas diferentes.

$8&=(-1)(-8) && and && -1+(-8)=-9\\\8&=2 \times 4 && and && 2+4=6$

$8=(-2)\cdot (-4)$ y $-2+(-4)=-6 \leftarrow$ Esta es la alternativa correcta.

La respuesta es $(x-2)(x-4)$ .

Ejemplo C

Factoriza $x^2+2x-15$ .

Solución: Estamos buscando una respuesta para el producto de estos dos binomios en los paréntesis: $(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )$ .

En este caso, debemos considerar el signo negativo. El número -15 se puede escribir como el producto de los siguientes números.

$-15=-1 \cdot 15$ y $-1+15=14$ Nota que estas son dos alternativas diferentes.

Y también,

$-15=1 \cdot (-15)$ y $1+(-15)=-14$ Nota que estas son dos alternativas diferentes.

$-15=(-3) \times 5$ y $(-3)+5=2$ Esta es la alternativa correcta.

$-15=3 \times (-5)$ y $3+(-5)=-2$

La respuesta es $(x-3)(x+5)$ .

Para resumir:

Un cuadrático de la forma $x^2+bx+c$ se factoriza como el producto de dos binomios: $(x+m)(x+n)$ .

Si y son positivos, entonces y son positivos.
- Ejemplo: $x^2+8x+12$ se factoriza como $(x+6)(x+2)$ .
Si es negativo y es positivo, entonces y son negativos.
- Ejemplo: $x^2-6x+8$ se factoriza como $(x-2)(x-4)$ .
Si es negativo, entonces es positivo y es negativo o viceversa.
- Ejemplo: $x^2+2x-15$ se factoriza como $(x+5)(x-3)$ .
- Ejemplo: $x^2+34x-35$ se factoriza como $(x+35)(x-1)$ .
Si , se factoriza como un factor común de -1 para cada término en el trinomio y luego se factoriza de forma normal. La respuesta tendrá la forma de .
- Ejemplo: $-x^2+x+6$ se factoriza como $-(x-3)(x+2)$ .

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Factoriza $-x^2+x+6$ .

Solución: Primero factoriza el factor común de -1 de cada término del trinomio. Factorizar -1 cambia los signos de cada término de la expresión.

$-x^2+x+6 = -(x^2-x-6)$

Estamos buscando una respuesta para el producto de los dos binomios de los paréntesis: $(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )(x \pm \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \ )$ .

Ahora, nuestro trabajo es factorizar $x^2-x-6$ .

El número -6 se puede escribir como el producto de los siguientes números.

$&-6=(-1) \times 6 \qquad and \qquad (-1)+6=5\\\&-6=1 \times (-6) \qquad and \qquad 1+(-6)=-5\\\&-6=(-2) \times 3 \qquad and \qquad (-2)+3=1\\\&-6=2 \times (-3) \qquad and \qquad 2+(-3)=-1 \qquad This \ is \ the \ correct \ choice.$

La respuesta es $-(x-3)(x+2)$ .

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Factorizaing Quadratic Equations (16:30)

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Factoriza los siguientes polinomios cuadráticos.

$x^2+10x+9$
$x^2+15x+50$
$x^2+10x+21$
$x^2+16x+48$
$x^2-11x+24$
$x^2-13x+42$
$x^2-14x+33$
$x^2-9x+20$
$x^2+5x-14$
$x^2+6x-27$
$x^2+7x-78$
$x^2+4x-32$
$x^2-12x-45$
$x^2-5x-50$
$x^2-3x-40$
$x^2-x-56$
$-x^2-2x-1$
$-x^2-5x+24$
$-x^2+18x-72$
$-x^2+25x-150$
$x^2+21x+108$
$-x^2+11x-30$
$x^2+12x-64$
$x^2-17x-60$

Revisión Mixta

Evalúa $f(2)$ cuando $f(x)=\frac{1}{2} x^2-6x+4$ .
El Departamento de Tránsito de Nebraska recolectó información sobre en accidentes de conductores adolescentes por la distracción producto del uso teléfonos móviles
1. Representa los datos en un gráfico de dispersión.
2. Traza una línea sobre esta información.
3. Predice el número de accidentes de adolescentes atribuibles al uso de teléfonos móviles en el año 2012.

Año ( $y$ )	Total ( $n$ )
2002	41
2003	43
2004	47
2005	38
2006	36
2007	40
2008	42
2009	42

Simplifica $\sqrt{405}$ .
Grafica lo siguiente en una recta numérica: $-\pi, \sqrt{2}, \frac{5}{3}, - \frac{3}{10}, \sqrt{16}$ .
¿Cuál es la multiplicación inversa de $\frac{9}{4}$ ?

Prueba Corta

Nombra el siguiente polinomio. Estable su grado y su coeficiente principal: $6x^2 y^4 z+6x^6-2y^5+11xyz^4$ .
Simplifica $(a^2 b^2 c+11abc^5 )+(4abc^5-3a^2 b^2 c+9abc)$ .
Una figura sólida rectangular tiene las dimensiones $(a+2)$ por $(a+4)$ por $(3a)$ . Encuentra su volumen.
Simplifica $-3hjk^3 (h^2 j^4 k+6hk^2)$ .
Encuentra las soluciones de $(x-3)(x+4)(2x-1)=0$ .
Multiplica $(a-9b)(a+9b)$ .

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