Factorizar Polinomios Usando Productos Especiales

En esta Sección aprenderás a factorizar polinomios cuadráticos usando productos especiales.

¿Qué sucede si el área de un área de juegos cuadrada fuera de 10.000 pies cuadrados? En lugar de sacar la raíz cuadrada del área para encontrar la longitud de alguno de sus lados, puedes establecer la ecuación $s^2 = 10,000$ , restar 10.000 a ambos lados para obtener $s^2 - 10,000 = 0$ , y calcular $s$ factorizando $s^2 -10,000$ al lado izquierdo de la ecuación. Pero, ¿cómo factorizar esto? Después de completar esta Sección, sabrás cómo factorizar expresiones como esta usando productos especiales.

Orientación

Cuando aprendimos cómo multiplicar binomios, hablamos sobre dos productos especiales: la Fórmula de la Suma y Diferencia y la Fórmula del Cuadrado de un Binomio. En esta Sección, aprenderemos a reconocer y factorizar estos productos especiales.

Factorizar la Diferencia de Dos Cuadrados

Usamos la Fórmula de la Suma y Diferencia para factorizar una diferencia de dos cuadrados. Una diferencia de dos cuadrados puede ser un polinomio cuadrático en esta forma: $a^2-b^2$ . Ambos términos del polinomio son cuadrados perfectos. En un caso como este, el polinomio factoriza la suma y diferencia de la raíz cuadrada de cada término.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

En estos problemas, la clave es averiguar qué términos son $a$ y $b$ Resolvamos algunos ejemplos de este tipo.

Ejemplo A

Factoriza la diferencia de cuadrados.

(a) $x^2-9$

(b) $x^2y^2-1$

Solución:

(a) Reescribe $x^2-9$ como $x^2-3^2$ . Ahora es obvio que es una diferencia de cuadrados.

Sustituimos los valores de $a$ y $b$ en la Fórmula de la Suma y Diferencia:

$(x+3)(x-3)$

La respuesta es $x^2-9=(x+3)(x-3)$ .

(b) Reescribe $x^2y^2-1$ como $(xy)^2-1^2$ . Esto se factoriza como $(xy+1)(xy-1)$ .

Factorizar Trinomios con Cuadrados Perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma de:

$a^2+2ab+b^2 \qquad \text{or} \qquad a^2-2ab+b^2$

La forma factorizada de un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma de:

$&&(a+b)^2 \ if \ a^2+2(ab)+b^2\\\\text{And}\\\&&(a-b)^2 \ if \ a^2-2(ab)+b^2$

En estos problemas, la clave es averiguar qué términos son $a$ y $b$ Resolvamos algunos ejemplos de este tipo.

Ejemplo B

Factoriza $x^2+8x+16$ .

Solución:

Comprueba que el primer y último término sean cuadrados perfectos.

$x^2+8x+16 \qquad \text{as} \qquad x^2+8x+4^2.$

Comprueba que el término del medio sea el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y el último término. Esto es verdadero ya que también podemos reescribirlo.

$x^2+8x+16 \qquad \text{as} \qquad x^2+2 \cdot 4 \cdot x+4^2$

Esto significa que podemos factorizar $x^2+8x+16$ como $(x+4)^2$ .

Ejemplo C

Factoriza $x^2-4x+4$ .

Solución:

Reescribe $x^2-4x+4$ como $x^2+2 \cdot (-2) \cdot x+(-2)^2$ .

Notamos que este es un trinomio cuadrado perfecto y que podemos factorizarlo como $(x-2)^2$ .

Resolver Ecuaciones de Polinomios que Presentan Productos Especiales

Hemos aprendido cómo factorizar polinomios cuadráticos que nos son útiles para resolver ecuaciones de polinomios como $ax^2+bx+c=0$ . Recuerda que para resolver polinomios en la forma extendida, usamos los siguientes pasos:

Paso 1: Reescribe la ecuación en la forma estándar de modo que: Expresión de polinomio = 0.

Paso 2: Factoriza el polinomio completamente.

Paso 3: Usa la Propiedad del Producto Cero para igualar cada factor a cero.

Paso 4: Resuelve cada ecuación del paso 3.

Paso 5: Comprueba tus respuestas sustituyendo tus soluciones en la ecuación original.

Video de Repaso

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*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones de polinomios.

$x^2+7x+6=0$

Solución: No necesitas reescribir porque ya está en la forma correcta.

Factoriza: Escribimos 6 como el producto de los siguientes números:

$6& =6 \times 1 && \text{and} && 6+1=7\\\x^2+7x+6 & = 0 && \text{factors as} && (x+1)(x+6)=0$

Iguala cada factor a cero:

$x+1=0 \qquad \text{or} \qquad x+6=0$

Resuelve:

$x=-1 \qquad \text{or} \qquad x=-6$

Comprueba: Sustituye cada solución en la ecuación original.

$(-1)^2+7(-1)+6&=1+(-7)+6=0\\\(-6)^2+7(-6)+6&=36+(-42)+6=0$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Factorizaing Special Products (10:08)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

$x^2+8x+16$
$x^2-18x+81$
$-x^2+24x-144$
$x^2+14x+49$
$4x^2-4x+1$
$25x^2+60x+36$
$4x^2-12xy+9y^2$
$x^4+22x^2+121$

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.

$x^2-4$
$x^2-36$
$-x^2+100$
$x^2-400$
$9x^2-4$
$25x^2-49$
$-36x^2+25$
$16x^2-81y^2$

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización.

$x^2-11x+30=0$
$x^2+4x=21$
$x^2+49=14x$
$x^2-64=0$
$x^2-24x+144=0$
$4x^2-25=0$
$x^2+26x=-169$
$-x^2-16x-60=0$

Revisión Mixta

Encuentra el valor de $k$ que crea un número infinito de soluciones al sistema $\begin{cases}3x+7y=1\\\kx-14y=-2 \end{cases}$ .
Un restaurante ofrece dos clases de arroz, tres opciones de fideos chinos y cuatro tipos de salsa. ¿Cuántos platos se pueden crear si eliges uno de cada uno?
Grafica $y-5= \frac{1}{3}(x+4)$ . Identifica su pendiente.
Se depositaron $600 en una cuenta que acumula un 8% de interés compuesto anual.
1. Escribe el modelo exponencial para representar esta situación.
2. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de seis años?

Divide: $4 \frac{8}{9} \div -3\frac{1}{5}$ .
Identifica un entero que sea par y no un número natural.

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