Factorizar por Agrupación

Aquí, aprenderás a usar la agrupación para factorizar cuadráticos cuando el coeficiente principal no es 1.

Supón que eres miembro del club de matemáticas de tu colegio y tendrás una charla con tus compañeros sobre cómo factorizar el polinomio $5x^2 + 17x + 6$ . Alguien ha sugerido factorizar por agrupación. ¿Crees que es una posibilidad? Si es así, ¿cómo se puede hacer? En esta Sección, aprenderás a factorizar expresiones de polinomios por medio de la agrupación cuando el coeficiente principal no es 1. Tus compañeros estarán impresionados cuando les expliques el procedimiento para usar la agrupación como medio para factorizar una expresión como la que se ha dado.

Orientación

Puede ser posible factorizar un polinomio que contiene cuatro o más términos factorizando monomios en común de los grupos de términos. Este método se conoce como ffactorizar por agrupación . El siguiente ejemplo ilustra cómo funciona este proceso

Ejemplo A

Factoriza $2x+2y+ax+ay$ .

Solución: No hay un factor común para los cuatro términos de este ejemplo. Sin embargo, hay un factor de 2 que es común a los primeros dos términos y hay un factor de $a$ que es común a los dos últimos términos. Factoriza 2 de los dos primeros términos y factoriza $a$ de los dos últimos términos.

$2x+2y+ax+ay = 2(x+y) +a(x+y)$

Ahora, nos damos cuenta que el binomio $(x+y)$ es común a ambos términos. Factorizamos el binomio común y obtenemos:

$(x+y)(2+a)$

Nuestro polinomio ahora está factorizado completamente.

Sabemos cómo factorizar los trinomios cuadráticos $(ax^2+bx+c)$ donde $a = 1$ usando los métodos que hemos aprendido anteriormente. Para factorizar un polinomio cuadrático donde $a \neq 1$ , seguimos los siguientes pasos.

Encontramos el producto de $ac$ .
Buscamos dos números que multiplicados nos den $ac$ y sumamos para obtener $b$ .
Reescribimos el término del medio usando los dos números que acabamos de encontrar.
Factorizamos la expresión por medio de la agrupación.

Apliquemos este método a los siguientes ejemplos.

Ejemplo B

Factoriza $3x^2+8x+4$ mediante la agrupación. .

Solución: Sigue los pasos detallados anteriormente.

$ac=3 \cdot 4=12$

El número 12 se puede escribir como el producto de dos números en cualquiera de estas formas:

$12&=1 \times 12 && and && 1+12=13\\\12 & =2 \times 6 && and && 2+6=8 \qquad \text{This is the correct choice}.$

Reescribe el término del medio como: $8x=2x+6x$ , así el problema se transforma en lo siguiente.

$3x^2+8x+4 = 3x^2+2x+6x+4$

Factoriza una $x$ de los primeros dos términos y 2 de los últimos dos términos.

$x(3x+2)+2(3x+2)$

Ahora, factoriza el binomio común $(3x+2)$ .

$(3x+2)(x+2)$

Nuestra respuesta es $(3x+2)(x+2)$ .

En este ejemplo, todos los coeficientes son positivos. ¿Qué sucede si $b$ es negativo?

Ejemplo C

Factoriza $6x^2-11x+4$ mediante la agrupación. .

Solución: $ac=6 \cdot 4 = 24$

El número 24 se puede escribir como el producto de dos números en cualquiera de estas formas.

$24&=1\times 24 && and && 1+24=25\\\24&=(-1) \times (-24) && and && (-1)+(-24)=-25\\\24&=2 \times 12 && and && 2+12=14\\\24&=(-2) \times (-12) && and && (-2)+(-12)=-14\\\24&=3 \times 8 && and && 3+8=11\\\24&=(-3) \times (-8) && and && (-3)+(-8)=-11 \quad \text{This is the correct choice}.$

Reescribe el término del medio como $-11x=-3x-8x$ , así el problema se transforma en:

$6x^2-11x+4=6x^2-3x-8x+4$

Factoriza por agrupación. Factoriza una $3x$ de los primeros dos términos y factoriza -4 de los últimos dos términos.

$3x(2x-1)-4(2x-1)$

Ahora, factoriza el binomio común $(2x-1)$ .

Nuestra respuesta es $(2x-1)(3x-4)$ .

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Factoriza $10x^2-43x+28$ .

Solución:

Primero, encuentra $a\cdot c$ : $10\cdot28=280$ . Ya que $b=-43$ , los factores de 280 necesitan sumar -43, así que considera los pares de factores negativos de 280. Habrá muchos pares de factores y puedes hacer una lista de estos hasta que encuentres el par correcto, como en los ejemplos B y C. O, puedes usar algún sentido numérico para acortar la búsqueda. Empieza con -1 como un factor:

$280=-1\cdot -280 \text{ and } -1+-280=-281$

Ya que -281 es más negativo que -43, necesitas tener un par de factores donde uno no sea tan negativo. Intenta:

$280= -7 \cdot -40 \text{ and } -7+-40=-47$

¡Estás cerca! Ya que todavía es muy negativo, necesitas un factor que sea menos negativo que -40 y uno que sea un poco más negativo que -7. Intenta:

$280= -8\cdot -35 \text{ and } -8+-35=-43$

¡Este funciona! Entonces, -8 y -35 son los factores que se necesitan. Reescribe el término del medio como $-43x=-35x-8x$ y factoriza por agrupación:

$10x^2-43x+28=10x^2-35x+-8x+28=5x(2x-7)-4(2x-7)=(5x-4)(2x-7)$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Factoriza by Grouping and Factorizaing Completely (13:57)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

Factoriza por agrupación.

$6x^2-9x+10x-15$
$5x^2-35x+x-7$
$9x^2-9x-x+1$
$4x^2+32x-5x-40$
$12x^3-14x^2+42x-49$
$4x^2+25x-21$
$24b^3+32b^2-3b-4$
$2m^3+3m^2+4m+6$
$6x^2+7x+1$
$4x^2+8x-5$
$5a^3-5a^2+7a-7$
$3x^2+16x+21$
$4xy+32x+20y+160$
$10ab+40a+6b+24$
$9mn+12m+3n+4$
$4jk-8j^2+5k-10j$
$24ab+64a-21b-56$

Prev Next

Factorizar por Agrupación

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Video de Repaso

Práctica Guiada

Práctica

Licencia