Factorizar Completamente

En esta Sección aprenderás a aplicar todas las habilidades que has adquirido hasta ahora, para factorizar completamente una expresión.

Supón que el área de un póster es de 100 pulgadas cuadradas y que la altura es 15 pulgadas más que el ancho. ¿Cómo lo harías para encontrar la altura y el ancho del póster? ¿Qué ecuación establecerías? ¿Cómo usarías la factorización para resolver la ecuación? En esta Sección, aprenderás a factorizar una expresión completamente a fin de resolver problemas cotidianos como este.

Orientación

Decimos que un polinomio se factoriza completamente cuando factorizamos lo más que podamos y no podemos hacerlo más. Aquí hay algunas recomendaciones que debes seguir para asegurarte de que factorizaste completamente.

$\Compruebamark$ Primero, factoriza todos los monomios comunes.

$\Compruebamark$ Identifica productos especiales como la diferencia de cuadrados o el cuadrado de un binomio. Factoriza según las fórmulas.

$\Compruebamark$ Si no hay productos especiales, factoriza usando los métodos aprendidos en las Secciones anteriores.

$\Compruebamark$ Observa cada factor y ve si cualquiera de estos se puede factorizar más.

Ejemplo A

Factoriza completamente los siguientes polinomios.

(a) $2x^2-8$

(b) $x^3+6x^2+9x$

Solución:

(a) Busca el factor monomio común: : $2x^2-8=2(x^2-4)$ . Reconoce $x^2-4$ como la diferencia de cuadrados. Factorizamos de la siguiente manera: $2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$ . Si observamos cada factor, vemos que no podemos factorizar nada más. La respuesta es $2(x+2)(x-2)$ .

(b) Reconoce esto como un cuadrado perfecto y factoriza como $x(x+3)^2$ . Si observamos cada factor, vemos que no podemos factorizar nada más. La respuesta es $x(x+3)^2$ .

Factorizar Binomios Comunes

El primero paso del proceso de factorizar a menudo es factorizar los monomios comunes de los polinomios. A veces, los polinomios tienen términos en común que son binomios. Por ejemplo, considera la siguiente expresión:

$x(3x+2)-5(3x+2)$

Puedes ver que el término $(3x+2)$ aparece en ambos términos del polinomio. Este término común se puede factorizar escribiéndolo delante de los paréntesis. Dentro del paréntesis, escribimos todos los términos que quedan cuando los dividimos por el factor común.

$(3x+2)(x-5)$

Ahora, esta expresión está factorizada completamente. Observemos otros ejemplos.

Ejemplo B

Factoriza $3x(x-1)+4(x-1)$ .

Solución: $3x(x-1)+4(x-1)$ tiene un binomio común de $(x-1)$ .

Cuando factorizamos el binomio común, obtenemos $(x-1)(3x+4)$ .

Resolver Problemas Cotidianos Usando Ecuaciones de Polinomios

Ahora que sabemos la mayoría de las estrategias para polinomios cuadráticos, podemos ver cómo se aplican estos métodos para resolver problemas cotidianos.

Ejemplo C

El producto de dos números positivos es 60. Encuentra los dos números si uno de estos es 4 más que el otro.

Solución: $x=$ uno de los números y $x+4$ es igual al otro número. El producto de estos dos números es igual a 60. Podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:

$x(x+4)=60$

Escribe el polinomio en la forma estándar.

$x^2+4x&=60\\\x^2+4x-60&=0$

Factoriza: $-60=6 \times(-10)$ y $6+(-10)=-4$

$-60=-6 \times 10$ y $-6+10=4$ Esta es la alternativa correcta.

La expresión se factoriza como $(x+10)(x-6)=0$ .

Resuelve:

$x+10=0 && x-6& =0\\\\text{or} \\\x=-10 && x& =6$

Ya que estamos buscando números positivos, la respuesta debe ser positiva.

$x=6$ para un número y $x+4=10$ para el otro.

Comprueba: $6 \cdot 10=60$ la respuesta es correcta.

Video de Repaso

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Práctica Guiada

Factoriza completamente: $24x^3-28x^2+8x$ .

Solución:

Primero, nota que cada término tiene $4x$ como un factor. Empieza por excluir $4x$ :

$24x^3-28x^2+8x=4x(6x^2-7x+2)$

Luego, factoriza el trinomio del paréntesis. Ya que $a\neq 1$ encuentra $a\cdot c$ : $6\cdot 2=12$ . Encuentra los factores de 12 que suman -7. Ya que 12 es positivo y -7 es negativo, los dos factores deben ser negativos:

$12&=-1\cdot -12 && and && -1+-12=-13\\\12&=-2\cdot -6 && and && -2+-6=-8\\\12&=-3\cdot -4 && and && -3+-4=-7$

Reescribe el trinomio usando $-7x=-3x-4x$ , y luego factoriza por agrupación:

$6x^2-7x+2=6x^2-3x-4x+2=3x(2x-1)-2(2x-1)=(3x-2)(2x-1)$

La respuesta factorizada final es:

$4x(3x-2)(2x-1)$

Práctica

El siguiente video muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Algebra: Factoriza by Grouping and Factorizaing Completely (13:57)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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Factoriza completamente.

$2x^2+16x+30$
$12c^2-75$
$-x^3+17x^2-70x$
$6x^2-600$
$-5t^2-20t-20$
$6x^2+18x-24$
$-n^2+10n-21$
$2a^2-14a-16$
$2x^2-512$
$12x^3+12x^2+3x$

Resuelve los siguientes problemas de aplicación.

Un cateto de un triángulo rectángulo es 7 pies más largo que el otro. La hipotenusa es de 13 pies. Encuentra las dimensiones del triángulo.
Un rectángulo tiene lados de $x+2$ y $x-1$ . ¿Qué valor de $x$ entrega un área de 108?
El producto de dos números positivos es 120. Encuentra los dos números si uno de estos es 7 más que el otro.
Framing Warehouse ofrece enmarcar cuadros. El costo consta de dos partes. El costo del vidrio es de $1 por pie cuadrado. El costo del marco es de $2 por pie lineal. Si el marco es un cuadrado, ¿cuál es el tamaño del cuadro que puedes enmarcar por $20,00?

Revisión Mixta

El área de un cuadrado varía directamente con su longitud de lado.
1. Escribe la ecuación de la variación general para modelar este enunciado.
2. Si el área es de 16 pies cuadrados cuando la longitud de lado es de 4 pies, encuentra el área cuando $s=1.5 \ feet$ .

El área de superficie es la cantidad total de superficie de una figura tridimensional. La fórmula para el área de superficie de un cilindro es $SA=2 \pi r^2+2 \pi rh$ , donde $r=radius$ y $h=height \ of \ the \ cylinder$ . Determina el área de superficie de una lata con un radio de 2 pulgadas y una altura de 5,5 pulgadas.
Factoriza $25g^2-36$ . Resuelve este polinomio cuando es igual a cero.
¿Cuál es el máximo factor común de $343r^3 t, 21t^4$ , y $63rt^5$ ?
Se ofrecen descuentos para el partido de hockey para grupos de más de 12 personas.
1. Grafica esta solución en una recta numérica.
2. ¿Cuál es el dominio de esta situación?
3. ¿Recibirá descuento un grupo de la iglesia con 12 miembros?

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