Probabilidad de Eventos Compuestos

Aquí, aprenderás a calcular la probabilidad de que ocurran dos o más eventos.

Supón que estás jugando un juego de cartas y necesitas dos ases para ganar. Quedan 20 cartas en el mazo y ya han sacado uno de los ases. ¿Cuál es la probabilidad de que ganes el juego? ¿Cómo lo harías para calcular esta probabilidad? ¿Son eventos independientes o dependientes sacar tu primera carta y sacar tu segunda carta? En esta Sección, aprenderás las definiciones de eventos dependientes e independientes y cómo calcular la probabilidad de eventos compuestos como este.

Orientación

Comenzamos esta Sección recordando un poco sobre probabilidad.

La probabilidad experimental es la función entre el resultado propuesto y el número de intentos experimentales.

$P(success)= \frac{number \ of \ times \ the \ event \ occured}{total \ number \ of \ trials \ of \ experiment}$

La probabilidad se puede expresar como un porcentaje, una fracción, un decimal o una función.

Esta Sección se centra en eventos compuestos y en las fórmulas usadas para determinar las probabilidades de tales eventos.

Los eventos compuestos son dos eventos simples con los que se trabaja en conjunto; usualmente se expresan como $A$ y $B$ .

Eventos Dependientes e Independientes

Ejemplo A

Supón que lanzas una moneda y tiras un dado al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara y cuatro?

Solución:

Estos eventos son independientes . Los eventos independientes ocurren cuando el resultado de uno no afecta el resultado del otro. El hecho de que salga cuatro no afecta el resultado de que salga cara

Para encontrar la probabilidad de dos eventos independientes , multiplica la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo evento.

$P(A \ and \ B)=P(A) \cdot P(B)$

Solución:

$P(tossing \ a \ head)&=\frac{1}{2}\\\P(rolling \ a \ 4)&=\frac{1}{6}\\\P(tossing \ a \ head \ AND \ rolling \ a \ 4)&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$

Cuando los eventos dependen el uno del otro, se les denomina eventos dependientes . Supón que sacas una carta al azar de un mazo estándar y luego sacas una segunda carta al azar sin devolver la primera . La segunda probabilidad ahora es diferente de la primera.

Para encontrar la probabilidad de dos eventos dependientes , multiplica la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo evento , después de que ocurre el primero. .

$P(A \ and \ B)=P(A) \cdot P(B \ following \ A)$

Ejemplo B

Se eligen dos cartas de un mazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras?

Solución: Sea $A = 1st \ Face \ card \ chosen$ y $B = 2nd \ Face \ card \ chosen$ . El número total de figuras en el mazo es de $4 \times 3 = 12$ .

$P(A)&= \frac{12}{52}\\\P(B) & = \frac{11}{51}, \ \text{remember, one card has been removed.}$

$P(A \ AND \ B)= \frac{12}{52} \times \frac{11}{51} \ & or \ P(A \cap B) = \frac{12}{52} \times \frac{11}{51} =\frac{33}{663}\\\P(A \cap B) & = \frac{11}{221}$

Eventos Mutuamente Excluyentes

Eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo se conocen como eventos mutuamente excluyentes Por ejemplo, un número no puede ser par e impar o no puedes elegir una carta que sea un diez y una reina. Sin embargo, los eventos . mutuamente no excluyentes pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, un número puede ser menor que 5 y par o puedes elegir una carta del mazo que sea un diamante y un diez.

Cuando encontramos la probabilidad de que ocurran eventos al mismo tiempo, hay un concepto conocido como "doble conteo". Esto ocurre cuando la intersección se cuenta dos veces.

En eventos mutuamente excluyentes, $P(A \cap B)=\phi$ , porque no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Para encontrar la probabilidad de que ocurra un evento $A$ o $B$ mutuamente excluyente, usa la siguiente fórmula:

Para encontrar la probabilidad de uno u otro evento mutuamente excluyente o no excluyente, suma las probabilidades individuales y resta la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo.

$P(A \ or \ B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

Ejemplo C

Se sacan dos cartas de un mazo de cartas. Sea:

$A$ : $1^{st}$ carta es una pica

$B$ : $1^{st}$ carta es un 7

$C$ : $2^{nd}$ carta es un corazón

Encuentra las siguientes probabilidades:

(a) $P(A \ \text{or} \ B)$

(b) $P(B \ \text{or} \ A)$

Solución:

(a) $& P(A \ or \ B)=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}\\\& P(A \ or \ B) =\frac{16}{52}\\\& P(A \ or \ B) =\frac{4}{13}$

(b) $& P(B \ or \ A)= \frac{4}{52} + \frac{13}{52}-\frac{1}{52}\\\& P(B \ or \ A) = \frac{16}{52}\\\& P(B \ or \ A) = \frac{4}{13}$

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Un recipiente contiene 12 canicas rojas, 5 azules y 13 amarillas. Encuentra la probabilidad de sacar una canica azul y luego sacar una amarilla.

Solución:

Sea $A = blue \ marble \ chosen \ 1st$ y $B = yellow \ marble \ chosen \ 2nd$ . El número total de canicas en el recipiente es $12+5+13=30$ .

$P(A)&= \frac{5}{30}\\\P(B) & = \frac{13}{29} \ \text{Remember, one marble has been removed.}$

$P(A \ AND \ B)= \frac{5}{30} \times \frac{13}{29} \ & or \ P(A \cap B) =\frac{5}{30} \times \frac{13}{29} =\frac{65}{870}\\\P(A \cap B) & = \frac{13}{174}$

Práctica

Define eventos independientes .

¿Son los siguientes eventos dependientes o independientes?

Tirar un dado y girar una ruleta
Elegir un libro de un estante y luego elegir otro libro sin devolver el primero
Lanzar una moneda seis veces y luego lanzarla de nuevo
Elegir una carta de un mazo, devolverla y elegir otra carta
Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga 4 y luego 5?
Define mutuamente excluyente. .

¿Son estos eventos mutuamente excluyentes o no excluyentes?

Sacar un número par e impar al lanzar un dado.
Sacar un número par y un múltiplo de tres al lanzar un dado.
Sacar una carta al azar y que sea una jota y un corazón.
Sacar una carta al azar y que salga una pinta negra y un diamante.
Elegir una naranja y una fruta de un canasto.
Elegir una vocal y una consonante de una bolsa de Scrabble.
Se eligen dos cartas de un mazo. Determina la probabilidad de los siguientes eventos:
1. $P$ (corazón o pica)
2. $P$ (corazón y pica)
3. $P$ (rojo o corazón)
4. $P$ (jota o corazón)
5. $P$ (rojo o diez)
6. $P$ (reina roja o jota negra)

Una caja contiene 5 canicas púrpuras y 5 amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar con éxito y en orden una canica púrpura y luego una amarilla? {Pista: en orden quiere decir que no se devuelven}.
Una bolsa contiene 4 canicas amarillas, 5 rojas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar en orden 2 canicas rojas, 1 azul y 2 amarillas?
Se elige una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea de pinta negra y 7?

Revisión Mixta

Un círculo esta inscrito dentro de un cuadrado, lo que quiere decir que el diámetro del círculo es igual a la longitud de un lado del cuadrado. La longitud del cuadrado es de 16 centímetros. Supón que lanzas un dardo hacia la figura. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en el cuadrado y no en el círculo?
¿Por qué $7-14x^4+7xy^5-1x^{-1}=8x^2 y^3$ no se considera un polinomio?
Factoriza $72b^5 m^3 w^9-6(bm)^2 w^6$ .
Simplifica $2^5-7^3 a^3 b^7+3^5 a^3 b^7-2^3$ .
El blanqueamiento destroza el algodón a una tasa del 0,125% con cada aplicación. Una camisa es 100% algodón.
1. Escribe la ecuación para representar el porcentaje de algodón que queda luego de $w$ lavados.
2. ¿Qué porcentaje queda luego de 11 lavados?
3. ¿Después de cuantos lavados quedará un 75%?

Evalúa $\frac{(100 \div 4 \times 2-49)^2}{9-2 \times 3+2^2}$ .

Probabilidad de Eventos Compuestos

Orientación

Ejemplo A

Ejemplo B

Ejemplo C

Video de Repaso

Práctica Guiada

Práctica

Licencia