Introducción

Como viste en el Capítulo 8, las funciones algebraicas no solo producen líneas rectas, sino que también líneas curvas. Un tipo especial de función curva se conoce como parábola. Quizá antes hayas visto la forma de una parábola:

• La forma del agua en una fuente de beber
• La trayectoria que toma una pelota al ser lanzada
• La forma de los fuegos artificiales al explotar
• La forma del plato de un satélite
• La trayectoria de un buzo al nadar
• La forma de un espejo en el faro delantero de un automóvil

Muchas situaciones de la vida real representan una ecuación cuadrática. Este capítulo explorará el gráfico de una ecuación cuadrática y cómo resolver tales ecuaciones usando varios métodos.

Resumen

En este capítulo se cubren las funciones y ecuaciones cuadráticas en detalle. Primero, se discuten las funciones cuadráticas y sus gráficos, incluyendo los desplazamientos verticales de los gráficos de funciones cuadráticas y cómo usar gráficos para resolver ecuaciones cuadráticas. Luego se entregan otras maneras de resolver ecuaciones cuadráticas, tales como resolver ecuaciones cuadráticas usando raíces cuadradas y completando el cuadrado. También se menciona cómo encontrar el vértice de una función cuadrática completando el cuadrado. El capítulo sigue con problemas cuadráticos y la fórmula cuadrática, y habla sobre el discriminante. Finalmente, se discuten los modelos lineales, exponenciales y cuadráticos, y se dan consejos sobre cómo escoger un modelo de función.

Revisión de funciones y ecuaciones cuadráticas

Define cada término.

1. Vértice
2. 2. Forma estándar de una ecuación cuadrática
3. Modelo
4. Discriminante

Grafica cada función. Menciona el vértice (redondea al décimo más cercano, si es posible) y el rango de la función.

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Reescribe en forma estándar.

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Resuelve cada ecuación graficando.

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Resuelve cada ecuación sacando las raíces cuadradas.

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Resuelve cada ecuación completando el cuadrado y luego sacando la raíz cuadrada.

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Determina el punto mínimo o máximo completando el cuadrado.

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Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.

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En 45-50, para cada ecuación cuadrática, determina:

(a) The discriminante

(b) El número de soluciones reales

(c) Si las soluciones reales son racionales o irracionales

45. 
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47. 
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49. 
50. 
51. Explica la diferencia entre y .
52. Jorian quiere cerrar su jardín cercando los cuatro lados. Tiene 225 pies de cerca. ¿Qué dimensiones le darían un área más grande?
53. Se deja caer una pelota desde un acantilado de 70 metros de altura.
    1. Grafica esta situación usando la ecuación de Newton.
    2. ¿Cuál es el coeficiente principal? ¿Qué te dice este valor sobre la forma de la parábola?
    3. ¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
    4. ¿Dónde está la pelota después de 0,65 segundos?
    5. ¿Cuándo tocará el suelo la pelota?

54. La siguiente tabla muestra el número de horas gastadas por persona jugando videojuegos para varios años en los Estados Unidos.
    1. ¿Cuál parece ser la mejor función par estos datos?
    2. Encuentra la función más adecuada.
    3. Usando tu ecuación, predice el número de horas que alguien pasará jugando videojuegos en el 2012.
    4. ¿Parece posible este valor? Explica tu razonamiento.

55. La tabla nos muestra la cantidad de dinero gastada (en miles de millones de dólares) en los Estados Unidos en libros en varios años.
    1. Encuentra un modelo lineal para estos datos. Úsalo para predecir la cantidad de dólares gastados en 2008.
    2. Encuentra un modelo cuadrático para estos datos. Úsalo para predecir la cantidad de dólares gastados en 2008.
    3. ¿Qué modelo parece ser más preciso? Usa el mejor modelo para predecir la cantidad de dólares gastados en 2012.
    4. ¿Qué podría pasar para cambiar este valor?

56. Los datos a continuación muestran el número de hospitales en los EE.UU.
    1. Encuentra una recta de regresión lineal para estos datos.
    2. Utiliza el modelo para determinar el número máximo de hospitales.
    3. ¿En qué año fue esto?
    4. ¿En qué años había aproximadamente 7.000 hospitales?
    5. ¿Cuál parece ser la tendencia de estos datos?

57. La distancia de un péndulo está medida y registrada en la siguiente tabla.
    1. ¿Cuál parece ser el mejor modelo para estos datos?
    2. Encuentra una recta de regresión lineal para estos datos. Áproxima la longitud de la séptima oscilación.
    3. Encuentra una recta de regresión lineal para estos datos. Áproxima la longitud de la séptima oscilación.

Evaluación de ecuaciones y funciones cuadráticas

1. 1. ¿Verdadero o falso? El vértice determina el dominio de una función cuadrática.
2. 2. Supongamos que el coeficiente principal de una ecuación cuadrática es . ¿Qué se puede concluir de la forma de la parábola?
3. 3. Encuentra el discriminante de la ecuación y determina el número de soluciones reales .
4. 4. Una pelota es lanzada hacia arriba desde una altura de cuatro pies con una velocidad inicial de 45 pies/segundo.
   1. Escribe la ecuación para graficar esta situación usando la ley de Newton.
   2. ¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
   3. ¿Cuándo alcanzará la pelota los 10 pies de altura?
   4. ¿Álcanzará la pelota los 36,7 pies de altura?
   5. ¿Cuándo tocará el suelo la pelota?

En 5-9, resuelve la ecuación usando cualquier método.

5. 
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7. 
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9. 
10. ¿Cuál es el vértice de ? ¿La parábola se abre hacia arriba o abajo? ¿Es el vértice un máximo o un mínimo?
11. Grafica .
12. Evalúa el discriminante. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación cuadrática?
13. Supongamos que . ¿Qué puedes concluir sobre las soluciones de la ecuación cuadrática?
14. Reescribe en forma estándar: .
15. Grafica y determina el rango y vértice de la función: .
16. Grafica y determina el rango e intercepto de la función: .
17. La siguiente información fue tomada de USÁ Today sobre el número de muertes por cáncer para varios años.
    1. Encuentra una recta de regresión lineal para estos datos. Úsala para predecir el número de muertes en hombres causadas por cáncer en 1999.
    2. Encuentra una recta de regresión cuadrática para estos datos. Úsala para predecir el número de muertes en hombres causadas por cáncer en 1999.
    3. Encuentra una recta de regresión exponencial para estos datos. Úsala para predecir el número de muertes en hombres causadas por cáncer en 1999.
    4. ¿Cuál parece ser el mejor modelo para estos datos?

Áño	Número de muertes cada 100.000 hombres
1980	205,3
1985	212,6
1989	217,6
1993	212,1
1997	201,9

Muertes por cáncer en hombres ( fuente: USÁ Today )

Herramientas Texas Instruments

En el FlexBook Álgebra I Texas Instruments de CK-12, hay actividades para calculadoras gráficas diseñadas para complementar los objetivos de algunas de las Secciones de este capítulo. Visita http://www.ck12.org/flexr/chapter/9620 .