Las funciones cuadráticas y sus gráficos

En esta Sección aprenderás sobre las características de una parábola, incluyendo su rango y dominio.

Supongamos que $p(m)=\frac {1}{12}m^2 - m + 5$ representa el precio de un galón de gasolina como una función del mes del año. ¿Eres capaz de graficar esta función? ¿Qué forma tiene el gráfico de la función? ¿Cuál es el dominio y el rango de la función? ¿Cuál es el vértice del gráfico? En esta Sección aprenderás sobre las funciones cuadráticas y sus gráficos para que puedas responder preguntas como estas.

Gráficos de funciones cuadráticas

Las secciones anteriores introdujeron el concepto de factorizar trinomios cuadráticos de la forma $0=ax^2+bx+c$ . Esto también se conoce como la forma estándar de una ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática más básica es $y=x^2$ . La palabra cuadrática viene de la palabra latina quadrare, que significa "al cuadrado." Ál crear una tabla de datos y graficar los pares ordenados descubres que una ecuación cuadrática tiene una figura en forma de $U$ llamada parábola.

Ejemplo Á

Grafica la ecuación cuadrática más simple, $y=x^2$ , usando la siguiente tabla de valores:

$x$	$y$
–2	4
–1	1
0	0
1	1
2	4

Solución:

Ál graficar los puntos en la tabla puedes ver que la forma es aproximadamente como el gráfico a continuación. Esta forma es conocida como parábola.

La anatomía de una parábola

Una parábola se puede dividir por la mitad con una línea vertical. Debido a esto, las parábolas tienen simetría. La línea vertical que divide a la parábola en dos partes iguales se conoce como eje de simetría. Todas las parábolas tienen un vértice, el par ordenado que representa el fondo (o la cima) de una curva.

El vértice de una parábola es el par ordenado $(h, k)$ .

Ya que el eje de simetría es una línea vertical, su ecuación tiene la forma $x=h$ ,donde $h=$ la coordenada $x-$ del vértice.

Ál igual que con las ecuaciones lineales, los interceptos $x$ -de una función cuadrática están donde el gráfico intersecta el eje $x$ El valor $y$ es cero en los interceptos $x$

Una ecuación de forma $y=ax^2$ constituye una parábola.

Si $a$ es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba. El vértice será un mínimo.

Si $a$ es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. El vértice será un máximo.

La variable $a$ en la ecuación anterior se conoce como el coeficiente principal de la ecuación cuadrática. No solo te dirá si la parábola se abre hacia arriba o abajo, sino que también te indicará el ancho de la parábola.

Si $a>1$ o $a<-1$ , la parábola será angosta cerca del eje de simetría.

Si $-1<a<1$ , la parábola será amplia cerca del eje de simetría.

Ejemplo B

Encuentra los interceptos $x$ -de la función cuadrática $y=x^2+5x-6$ .

Solución:

Para encontrar los interceptos $x$ -fijemos $y$ igual a cero y resolvamos $x$ por factorización.

$0=x^2+5x-6=x^2+-1x+6x-6=x(x-1)+6(x-1)=(x+6)(x-1)$

Esto significa que

$0=x+6 \Rightarrow x=-6$ or $0=x-1 \Rightarrow x=1$ .

Por lo tanto los interceptos $x$ son -6 y 1.

Cómo encontrar el vértice de una ecuación cuadrática en forma estándar

La coordenada $x-$ del vértice de $0=ax^2+bx+c$ es $x=-\frac{b}{2a}$ .

Ejemplo C

Determina la dirección, forma y vértice de la parábola formada por $y=-\frac{1}{2} x^2$ .

Solución:

El valor de $a$ en la ecuación cuadrática es $-\frac{1}{2}$ .

Ya que $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
Ya que $a$ está entre -1 y 1, la parábola es amplia cerca del eje de simetría.
Ya que $b$ , $b=0$ . sustituimos esto en la ecuación por la coordenada $x$ del vértice $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2a}=0$ . (Nota: No importa a qué sea igual $a$ ya que $b=0$ , la fracción es igual a cero.) Para encontrar la coordenada $y$ sustituye la coordenada $x$ en la ecuación:

$y=-\frac{1}{2} x^2=-\frac{1}{2}\cdot 0^2=0$

El vértice es $(0,0)$ .

El vértice es

Muchas veces en este libro has visto los términos dominio y rango. Recuerda:

Dominio es el conjunto de todos valores de ingreso (coordenadas $x-$ ).
Rango es el conjunto de todos los valores de salida (coordenadas $y-$ ).

El dominio de toda ecuación cuadrática son todos los números reales $(\mathbb{R})$ . El rango de una parábola depende de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.

Si $a$ es positivo, el rango será $y \ge k$ .

Si $a$ es negativo, el rango será $y \le k$ , donde $k= \text{the }y-$ coordenadas del vértice.

Ejemplo D

Encuentra el rango de la función cuadrática $y=-2x^2+16x+5$ .

Solución:

Para encontrar el rango, debemos encontrar el valor $y$ del vértice. Usando la fórmula dada anteriormente, podemos encontrar el valor $x$ del vértice, y lo usamos para encontrar el valor $y$ del vértice.

Ya que el valor del vértice es $x$ del vértice es $x=-\frac{b}{2a}$ , obtenemos $x=-\frac{16}{2\cdot -2}=4.$

Áhora, sustituimos el 4 en la ecuación:

$y=-2x^2+6x+5=-2(4)^2+6(4)+5=-2(16)+24+5=-32+29=-3$

El valor $y$ del vértice es -3, y ya que $a=-2$ , la parábola va hacia abajo, entonces -3 es el valor más alto posible para el rango.

Por lo tanto, el rango es $y\le -3$ .

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Determina la dirección, vértice y rango de $y=7x^2+14x-9$ .

Solución:

Ya que $a=7$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba. Áhora buscamos el vértice:

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{14}{2\cdot 7}=-\frac{14}{14}=-1.$

Luego, sustituimos $x=-1$ en la función cuadrática:

$y=7x^2+14x-9=7(-1)^2+14(-1)-9=7(1)-14-9=7-23=-16.$

en la función cuadrática:

Ya que la parábola se abre hacia arriba y el valor $y$ del vértice es -16, el rango es $y\ge -16$ .

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Graphs of Quadratic Functions (16:05)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Define los siguientes términos con tus propias palabras.
1. Vértice
2. Eje de simetría
3. Parábola
4. Mínimo
5. Máximo

Sin graficar, ¿cómo puedes saber si $y=ax^2+bx+c$ se abre hacia arriba o hacia abajo?

Grafica las siguientes ecuaciones y haz una tabla. Digamos que $-3 \le x \le 3$ . Determina el rango de cada ecuación.

$y=2x^2$
$y=-x^2$
$y=x^2-2x+3$
$y=2x^2+4x+1$
$y=-x^2+3$
$y=x^2-8x+3$
$y=x^2-4$

¿El gráfico de la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

$y=-2x^2-2x-3$
$y=3x^2$
$y=16-4x^2$

Encuentra la coordenada $x-$ del vértice de las siguientes ecuaciones.

$x^2-14x+45=0$
$8x^2-16x-42=0$
$4x^2+16x+12=0$
$x^2+2x-15=0$

Grafica las siguientes funciones con una tabla de valores. Usa el vértice y los interceptos $x-$ para ayudarte a elegir los valores para la tabla.

$y=4x^2-4$
$y=-x^2+x+12$
$y=2x^2+10x+8$
$y=\frac{1}{2} x^2-2x$
$y=x-2x^2$
$y=4x^2-8x+4$

Las funciones cuadráticas y sus gráficos

Gráficos de funciones cuadráticas

Ejemplo Á

Ejemplo B

Ejemplo C

Ejemplo D

Revisión en video

Práctica Guiada

Práctica

Licencia