Desplazamiento vertical de las funciones cuadráticas

En esta Sección aprenderás sobre los desplazamientos verticales y sus efectos en la anatomía de una parábola.

Supongamos que el departamento de marketing de una empresa está diseñando un nuevo logo que incluye una parábola. Han dibujado el logo en un gráfico en un trozo de papel, pero decidieron que quieren cambiar la posición de la parábola moviéndola tres unidades hacia abajo. Si la ecuación original de la parábola era $y=2x^2$ , ¿cuál sería la nueva ecuación de la parábola después del desplazamiento vertical? ¿Cómo lo sabes? En esta Sección aprenderás sobre los desplazamientos verticales de las funciones cuadráticas para que puedas analizar una situación como esta.

Orientación

Compara las cinco parábolas. ¿Qué notas?

Las cinco parábolas diferentes son congruentes con interceptos $y-$ diferentes. Cada parábola tiene una ecuación de la forma $y=ax^2+c$ , donde $a=1$ y $c=y-$ intercepto En general, el valor de $c$ te dirá dónde la parábola interceptará el eje $y-$ .

La ecuación $y=ax^2+c$ es una parábola con un intercepto $y-$ de $(0, c)$ .

El movimiento vertical a lo largo del eje de simetría de una parábola se conoce como desplazamiento vertical.

Ejemplo Á

Determina la dirección, forma, e intercepto $y-$ de una parábola formada por $y=\frac{3}{2} x^2-4$ .

Solución: El valor de $a$ en la ecuación cuadrática es $\frac{3}{2}$ .

Ya que $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.
Ya que $a$ es mayor a 1, la parábola es estrecha cerca de su eje de simetría.
El valor de $c$ es -4, entonces el intercepto $y-$ es (0, –4).

Los proyectiles a menudo se describen con ecuaciones cuadráticas. Cuando se deja caer un objeto desde un edificio alto o un acantilado, éste no viaja a una velocidad constante. Mientras más viaja, más rápido va. Galileo describió esta relación entre distancia de caída y tiempo. Se conoce como su ley del movimiento. Ésta afirma que "la distancia recorrida varía directamente con el tiempo al cuadrado". Como una ecuación algebraica, esta ley es:

$d=16t^2$

Utiliza esta información para graficar la distancia que viaja un objeto durante los primeros seis segundos.

$t$	$d$
0	0
1	16
2	64
3	144
4	256
5	400
6	576

La parábola se abre hacia arriba, y su vértice está localizado en el origen. Ya que $a>1$ , el gráfico es estrecho cerca del eje de simetría. Sin embargo, ya que los valores de la variable dependiente , $d$ , son muy grandes, el gráfico es engañoso.

Ejemplo B

Ánne está jugando golf. En el cuarto hoyo, ella da un golpe lento que se fue por la pista. La bola sigue una trayectoria parabólica descrita por la ecuación , $y=x-0.04x^2$ , donde $x=$ la distancia en pies desde el punto de partida e $y=$ la altura de la bola de golf, en pies.

Describe la forma de esta parábola. ¿Cuál es su intercepto $y-$ ?

Solución: El valor de $a$ en la ecuación cuadrática es -0.04.

Ya que $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
Ya que $a$ está entre -1 y 1, la parábola es amplia cerca del eje de simetría.
El valor de $c$ es 0, entonces el intercepto $y-$ es (0, 0).

La distancia que le toma a un automóvil detenerse (en pies) dada su velocidad (en millas por hora) está dada por la función $d(s)=\frac{1}{20} \ s^2+s$ . Esta ecuación está en forma estándar: $f(x)=ax^2+bx+c$ , donde $a=\frac{1}{20}, b=1$ , y $c=0$ .

Grafica la función haciendo una tabla de valores.

$s$	$d$
0	0
10	15
20	40
30	75
40	120
50	175
60	240

La parábola se abre hacia arriba con un vértice de (0, 0).
El eje de simetría es $x=0$ .
La parábola es amplia cerca de su eje de simetría.

Si usamos la función para encontrar la distancia de detención de un auto viajando a 65 millas por hora obtenemos:

$d(65)=\frac{1}{20} (65)^2+65=276.25 \ feet$

El efecto de los desplazamientos verticales en los interceptos $x-$

Considera los gráficos de funciones cuadráticas al comienzo de esta Sección:

El gráfico de $y=x^2+2$ no tiene interceptos $x$ si lo desplazamos 1 hacia abajo, aún no tiene interceptos $x$ Sin embargo, si desplazamos a $y=x^2$ , esta parábola tiene un intercepto $x$ en el vértice. Nótese que si desplazamos uno más hacia abajo hasta $y=x^2-1$ , hay dos interceptos $x$ .

Ejemplo C

Encuentra los interceptos $x$ de $y=x^2-1$ por factorización.

Solución:

Podemos ver que los interceptos $x$ son -1 y 1 en el gráfico anterior. Usa esto para revisar tu factorización.

Para factorizar $y=x^2-1$ , nótese que se ajusta al patrón $y=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Por lo tanto:

$y=x^2-1=(x-1)(x+1)$ .

Ya que $y=0$ en los interceptos $x$ resuelve:

$0=y=(x-1)(x+1)\Rightarrow (x-1)=0 \text{ or }(x+1)=0 \Rightarrow x=1 \text{ or }x=-1 .$

Entonces, los interceptos $x$ son -1 y 1.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Determina la dirección, forma, intercepto $y$ e interceptos $x$ de $y=-x^2-3x+18$ .

Solución:

Ya que $a=-1$ , la dirección es hacia abajo. La forma no es ni amplia ni angosta en el eje de simetría. Se puede encontrar el intercepto $y$ sustituyendo en $x=0$ :

$y=-x^2-3x+18=-(0)^2-3(0)+18=18$

Entonces el intercepto $y$ es $(0,18)$ . Nótese que 18 es también el valor de $c$ . Esto siempre es cierto para las funciones cuadráticas.

Para encontrar los interceptos $x$ factoriza:

$y=-x^2-3x+18=-[x^2+3x-18]=-[x^2-3x+6x-18]=-[x(x-3)+6(x-3)]=-[(x+6)(x-3)]$

Esto significa que $y=0$ cuando

$x+6=0 \text{ or } x-3=0 \Rightarrow x=-6 \text{ or } x=3.$

Por lo tanto, los interceptos $x$ son -6 y 3.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Graphs of Quadratic Functions (16:05)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Usando la siguiente parábola, identifica lo siguiente:
1. Vértice
2. Intercepto $y-$
3. Interceptos $x-$
4. Dominio
5. Rango
6. Eje de simetría
7. ¿Es $a$ positivo o negativo?
8. ¿Es $a$ $-1<a<1$ o $a<-1$ o $a>1$ ?

Usa la función de distancia de detención de la Sección para encontrar:
1. $d(45)$
2. ¿Qué velocidad tiene una distancia de detención de cerca de 96 pies?

Usando la ley de Galileo de esta Sección, encuentra
1. La distancia a la que ha caído un objeto a los 3,5 segundos.
2. La distancia total a la que ha caído el objeto en 3,5 segundos.

¿Cuál tiene un intercepto $y-$ más positivo?

$y=x^2$ o $y=4x^2$
$y=2x^2+4$ o $y=\frac{1}{2} x^2+4$
$y=-2x^2-2$ o $y=-x^2-2$

Identifica el vértice y el intercepto $y-$ ¿Es el vértice un máximo o un mínimo?

$y=x^2-2x-8$
$y=-x^2+10x-21$
$y=2x^2+6x+4$

¿Qué ecuación tiene un vértice más grande?

$y=x^2$ o $y=4x^2$
$y=-2x^2$ o $y=-2x^2 -2$
$y=3x^2-3$ o $y=3x^2-6$

Nadia le está arrojando una pelota a Peter. Peter no atrapa la pelota y ésta cae al suelo. El gráfico muestra la trayectoria de la pelota al volar por el aire. La ecuación que describe la trayectoria de la pelota es $y=4+2x-0.16x^2$ . Áquí, $y$ es la altura de la pelota y $x$ es la distancia horizontal hasta Nadia. Ámbas distancias están medidas en pies. ¿Qué tan lejos de Nadia está la pelota cuando toca el suelo? ¿Á qué distancia, $x$ , desde Nadia, alcanza la pelota su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima?
Peter quiere cercar una plantación de vegetales con 120 pies de cercado. Quiere colocar la plantación junto a un muro existente, para que necesite cercar solo tres de los lados. La ecuación del área está dada por $a=120 x-x^2$ . Desde el gráfico, encuentra qué dimensiones del rectángulo le darían el área más grande.

Revisión mixta

Factoriza $6u^2 v-11u^2 v^2-10u^2 v^3$ usando su MCD.
Factoriza en primos: $3x^2+11x+10$ .
Simplifica $- \frac{1}{9} (63) \left(- \frac{3}{7} \right)$ .
Resuelve para $b: |b+2|=9$ .
Simplifica $(4x^3 y^2 z)^3$ .
¿Cuál es la pendiente y el intercepto $y-$ de $7x+4y=9?$

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