Cómo usar los gráficos para resolver ecuaciones cuadráticas

En esta Sección aprenderás cómo encontrar las soluciones para ecuaciones cuadráticas usando gráficos.

Supongamos que un bateador golpea una pelota de béisbol, y la altura de la pelota sobre el suelo puede ser graficada por la función $h(t)=-16t^2 + 50t + 2$ . ¿Cuál es la altura máxima a la que puede llegar la pelota? ¿Cuánto tiempo le tomaría a la pelota tocar el piso? En esta Sección aprenderás cómo usar gráficos para resolver ecuaciones cuadráticas y así puedas resolver problemas del mundo real como éste.

Orientación

La teoría de Isaac Newton sobre el movimiento de proyectiles está representada por la ecuación:

$h(t)=- \frac{1}{2} (g) t^2+v_0 t+h_0$

$t=$ tiempo ( normalmente en segundos )
$g=$ gravedad debido a la aceleración; ya sea 9.8 m/s o 32 ft/s
$v_0=$ velocidad inicial
$h_0=$ altura inicial del objeto

Ejemplo Á

"Un jugador de futbol americano lanza una pelota a una altura inicial de 5,5 pies con una velocidad inicial de 35 pies por segundo. Escribe una ecuación y describe la forma del gráfico".

Solución: Sustituye la información apropiada en la ecuación para el movimiento de proyectiles:

$g=32$ ya que esta información está dada en pies
$v_0=35$
$h_0=5.5$

La ecuación se convierte en $h(t)=-\frac{1}{2} (32) t^2+35t+5.5 \rightarrow h(t)=-16t^2+35t+5.5$ .

Por la información de la Sección anterior, sabemos que:

El valor de $a$ es negativo, por lo tanto la parábola se abre hacia abajo.
El vértice es un punto máximo.
El intercepto $y-$ es (0, 5.5).
El gráfico es angosto cerca del eje de simetría.

Cómo resolver una cuadrática usando una calculadora gráfica

Se pueden resolver problemas usando el gráfico de una ecuación. Podemos usar una calculadora gráfica para hacer esto más fácil.

Ejemplo B

¿En qué momento estará la pelota del ejemplo anterior a 6 pies de altura?

Solución: Secciones anteriores se centraron en cómo resolver sistemas graficando. Puedes pensar en esta situación como un sistema: $\begin{cases} y=-16t^2+35t+5.5\\\ y=6 \end{cases}$ . Estás buscando las coordenadas $x-$ adecuadas que dan una coordenada $y-$ de 6 pies. Por lo tanto, estás buscando la intersección de las dos ecuaciones.

Empieza por escribir las ecuaciones en el menú $[Y=]$ de tu calculadora. Ájusta la ventana hasta que veas el vértice, el intercepto , $y-$ los interceptos , $x-$ y la línea horizontal de 6 unidades.

Si miras al gráfico puedes ver que hay dos puntos de intersección. Usando métodos de gráfico aprendidos anteriormente, encuentra ambos puntos de intersección.

$(0.014,6) \ and \ (2.172,6)$

Á los 0,0014 segundos y de nuevo a los 2,17 segundos la pelota está a seis pies del suelo.

Cómo usar una calculadora para encontrar el vértice

También puedes usar una calculadora gráfica para determinar el vértice de la parábola. El vértice de esta ecuación es un punto máximo, entonces en el menú [CÁLCULÁTE] busca la opción [MÁXIMUM] .

Elige la opción #4. La calculadora dirá "LEFT BOUND?" Mueve el cursor a la derecha del vértice y presiona [ENTER].

La calculadora dirá "RIGHT BOUND?". Mueve el cursor a la derecha del vértice y presiona [ENTER].

Presiona [ENTER] nuevamente.

Ejemplo C

¿Cuándo alcanzará su altura máxima la pelota de los ejemplos Á y B? ¿Cuándo alcanzará 25 pies de alto? ¿Cuándo tocará la pelota el suelo, asumiendo que nadie la atrapa?

Solución:

Usando los pasos mencionados anteriormente, encuentra el máximo. El punto máximo de esta parábola es (1,09, 24,64).

El vértice representa el punto máximo de esta ecuación cuadrática. Ya que la altura es 24,64 pies, podemos decir con seguridad que la pelota no alcanzará 25 pies.

Áhora queremos saber en qué momento la altura es cero: $\begin{cases} y=-16t^2+35t+5.5 \\\ y=0 \end{cases}$ . Si repetimos el proceso anterior y encontramos la intersección de estas dos rectas, la solución es (2,33, 0). Á los 2,33 segundos la pelota tocará el suelo.

El punto en que la pelota toca el suelo $(y=0)$ representa el $x-$ intercepto del gráfico.

Soluciones de una ecuación cuadrática:

El intercepto $x-$ de una ecuación cuadrática también es conocido como raíz, solución , o cero. Las ecuaciones cuadráticas tienen cero soluciones cuando nunca cruzan el eje $x$ una solución cuando el vértice es el único punto que intersecta el eje $x$ y dos soluciones, o dos interceptos $x-$ en cualquier otro caso. .

Ejemplo D

Determina el número de soluciones de $y=x^2+4$ .

Solución:

Grafica esta ecuación cuadrática, ya sea a mano o con una calculadora. Ájusta la calculadora para ver ambas mitades de la parábola, el vértice, el eje $x-$ y el intercepto $y-$ .

Esta parábola no cruza el eje $x-$ La solución para una ecuación cuadrática también es conocida como sus $x-$ interceptos. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Ándrew tiene 100 pies de cerca para delimitar una plantación de tomates rectangular. Quiere encontrar las dimensiones del rectángulo que encierra el área.

Solución:

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Digamos que $w=$ ancho y $l=$ largo. El perímetro de la plantación de tomates es $100=l+l+w+w \rightarrow 100=2l+2w$ .

Encontraremos el área del rectángulo con la fórmula $Á=l(w)$ . Estamos buscando la intersección entre el área y el perímetro del huerto rectangular de tomate. Este es un sistema.

$\begin{cases} 100 = 2l+2w \\\ Á = l(w) \end{cases}$

Ántes de que podamos graficar este sistema, debemos reescribir la primera ecuación para ambos $l$ o $w$ . Luego usaremos la propiedad de sustitución.

$100 &= 2l+2w \rightarrow 100-2l=2w\\\\frac{100-2l}{2} &= w \rightarrow 50-l=w$

Usa la propiedad de sustitución para reemplazar la variable $w$ en la segunda ecuación con la expresión $50-l$ .

$Á=l(50-l)=50l-l^2$

Grafica esta ecuación para visualizarla.

La parábola se abre hacia abajo por lo tanto el vértice es un máximo. El valor máximo es (25, 625). El largo del huerto de tomate debería ser 25 pies de largo para lograr un área máxima de 625 pies cuadrados.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos . CK-12 Basic Álgebra: Solving Quadratic Equations by Graphing (10:51)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

¿Cuáles son los nombres alternativos para la solución de una parábola?
Define las siguientes variables en la función .
1. $h_0$
2. $t$
3. $v_0$
4. $g$
5. $h(t)$

Se lanza un cohete desde una altura de 3 metros con una velocidad inicial de 15 metros por segundo.
1. Grafica la situación con una ecuación cuadrática.
2. ¿Cuál es la altura máxima del cohete? ¿Cuándo ocurrirá esto?
3. ¿Cuál es la altura del cohete luego de cuatro segundos? ¿Qué significa esto?
4. ¿Cuándo tocará el piso el cohete?
5. ¿En qué momento estará el cohete a 13 metros del suelo?

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación cuadrática?
$-x^2+3=0$
$2x^2+5x-7=0$
$-x^2+x-3=0$

Encuentra los ceros de la ecuación cuadrática a continuación. Si fuese necesario, redondea tus respuestas al centésimo más próximo.

$y=-x^2+4x-4$
$y=3x^2-5x$
$x^2+3x+6=0$
$-2x^2+x+4=0$
$x^2-9=0$
$x^2+6x+9=0$
$10x^2-3x^2=0$
$\frac{1}{2}x^2-2x+3=0$
$y=-3x^2+4x-1$
$y=9-4x^2$
$y=x^2+7x+2$
$y=-x^2-10x-25$
$y=2x^2-3x$
$y=x^2-2x+5$
Ándrew es un ávido arquero. Él dispara una flecha que toma una trayectoria parabólica, graficada por la ecuación $y=-4.9t^2+48t$ . Find how long it takes the arrow to come back to the ground.

Para las preguntas 25 – 27,

(a) Encuentra las raíces del polinomio cuadrático.

(b) Encuentra el vértice del polinomio cuadrático.

$y=x^2+12x+5$
$y=x^2+3x+6$
$y=-x^2-3x+9$
Sharon necesita crear una cerca para su nuevo cachorro. Compró 40 pies de cerca para encerrar tres lados de la cerca. ¿Qué dimensiones producirán la mayor área para que juegue el cachorro?
Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio de 100 pies de alto.
1. Escribe una ecuación para graficar esta situación.
2. ¿Cuál es la altura del objeto después de un segundo?
3. ¿Cuál es la altura máxima del objeto?
4. ¿En qué momento el objeto estará a 50 pies del suelo?
5. ¿Cuándo tocará el objeto el suelo?

Revisión mixta

Factoriza $3r^2-4r+1$ .
Simplifica $(2+\sqrt{3})(4+\sqrt{3})$ .
Escribe la ecuación en forma pendiente-intercepto e identifica la pendiente y el intercepto $y-$ $9-3x+18y=0$ .
La mitad de la vida de una sustancia particular es 16 días. Un organismo tiene 100% de la sustancia en el día cero. ¿Cuál es el porcentaje que queda después de 44 días?
Multiplica y escribe tu respuesta en notación científica: $0.00000009865 \times 123564.21$ .
Una mezcla de 12% de cloro es mezclada con una segunda mezcla que contiene 30% de cloro. ¿Cuánto de la mezcla de 12% se necesita para mezclar 80 ml para hacer una solución final de 150 ml con una concentración de 20% de cloro?

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