Cómo usar raíces cuadradas para resolver ecuaciones cuadráticas

En esta Sección aprenderás cómo resolver problemas que involucran ecuaciones cuadráticas usando raíces cuadradas.

Imagina que un pájaro está volando por el aire con un gusano en su pico. De repente, el gusano se resbala del pico del pájaro, ¡y el pobre pájaro ya no tiene qué cenar! Si el pájaro estaba volando a una altura de 2000 pies, ¿cuánto tiempo le tomaría al gusano llegar al suelo, suponiendo que no hay resistencia del aire? En esta Sección aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas como la que representa este escenario usando raíces cuadradas.

Orientación

Supongamos que necesitas encontrar el valor de $x$ tal que $x^2=81$ . ¿Cómo podrías resolver esta ecuación?

Haz una tabla de valores.
Grafica esta ecuación en un sistema.
Cancela el cuadrado usando su operación inversa.

La operación inversa de elevar al cuadrado es una raíz cuadrada.

Ál aplicar la raíz cuadrada a cada lado de la ecuación, obtienes:

$x &= \pm \sqrt{81}\\\x &= 9 \ or \ x=-9$

En general, la solución a una ecuación cuadrática de la forma $0=ax^2-c$ es:

$x=\sqrt{\frac{c}{a}} \ \text{or} \ x=- \sqrt{\frac{c}{a}}$

Otra manera de escribir esto es $x=\pm \sqrt{\frac{c}{a}}.$

Ejemplo Á

Resuelve para x cuando $0=2x^2-18$ .

Solución:

$0=2x^2-18 \Rightarrow 18=2x^2\Rightarrow 9=x^2 \Rightarrow x=\pm 3.$

Este es el mismo resultado que obtendrías si usas la fórmula anterior:

$x=\pm \sqrt{\frac{c}{a}}=\pm \sqrt{\frac{18}{2}}=\pm \sqrt{9}=\pm 3.$

Ejemplo B

Resuelve $(x-4)^2-9=0$ .

Solución:

Empieza por sumar 9 en cada lado de la ecuación.

$(x-4)^2=9$

Cancela el número al cuadrado usando raíz cuadrada.

$x-4=3 \ or \ x-4=-3$

Resuelve ambas ecuaciones para $x: x=7 \ or \ x=1$

Problemas del mundo real que usan raíces cuadradas

En la Sección anterior aprendiste la fórmula de Newton para el movimiento de proyectiles. Examinemos una situación en la que no hay velocidad inicial. Cuando dejamos caer una pelota, no hay una fuerza exterior que la empuje; por lo tanto no hay velocidad inicial.

Ejemplo C

Se deja caer una pelota desde un edificio de 40 pies de alto. ¿Cuándo toca la pelota el suelo?

Solución:

Usando la ecuación de la Sección anterior, $h(t)=-\frac{1}{2} (g) t^2+v_0 t+h_0$ , y sustituyendo la información adecuada, obtienes:

$&& 0 &=-\frac{1}{2} (32)t^2+(0)t+40\\\\text{Simplify:} && 0 &= -16t^2+40\\\\text{Solve for} \ x: && -40 &= -16t^2\\\&& 2.5 &= t^2\\\&& t & \approx 1.58 \ and \ t \approx -1.58$

Ya que $t$ está en segundos, no tiene mucho sentido que la respuesta sea negativa. Por lo tanto, la pelota tocará el suelo en aproximadamente 1,58 segundos.

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Se deja caer una roca desde la cima de un acantilado y ésta llega al suelo 7,2 segundos después. ¿Qué tan alto es el acantilado en metros?

Solución:

Usando la fórmula de Newton, sustituye la información adecuada.

$&& 0 &= -\frac{1}{2} (9.8)(7.2)^2+(0)(7.2)+ h_0\\\\text{Simplify:} && 0 &= -254.016+h_0\\\\text{Solve for} \ h_0: && h_0 &= 254.016$

El acantilado tiene aproximadamente 254 metros de alto.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Solving Quadratic Equations by Square Roots (11:03)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Resuelve cada ecuación cuadrática.

$x^2=196$
$x^2-1=0$
$x^2-100=0$
$x^2+16=0$
$9x^2-1=0$
$4x^2-49=0$
$64x^2-9=0$
$x^2-81=0$
$25x^2-36=0$
$x^2+9=0$
$x^2-16=0$
$x^2-36=0$
$16x^2-49=0$
$(x-2)^2=1$
$(x+5)^2=16$
$(2x-1)^2-4=0$
$(3x+4)^2=9$
$(x-3)^2+25=0$
$x^2-6=0$
$x^2-20=0$
$3x^2+14=0$
$(x-6)^2=5$
$(4x+1)^2-8=0$
$(x+10)^2=2$
$2(x+3)^2=8$
¿Cuánto demora una pelota en caer desde un techo al suelo que está 25 pies más abajo?
Susan deja caer su cámara en el río desde un puente de 400 pies de alto. ¿Cuánto tiempo pasa antes de que escuche el chapoteo?
Á una piedra le toma 5,3 segundos chapotear en el agua cuando se le deja caer desde la cima de un acantilado. ¿Qué tan alto es el acantilado en metros?
Nisha deja caer una piedra desde el techo de un edificio de 50 pies de alto. Áshaan lanza una moneda de 25 centavos desde la ventana del último piso, que está a 40 pies de alto, exactamente medio segundo después de que Nisha deja caer la piedra. ¿Cuál llega primero al piso?
Víctor deja caer una manzana desde una ventana en el $10^{th}$ (10mo) piso, la cual está a 120 pies sobre el suelo. Un segundo después, Juan deja caer una naranja desde la ventana del $6^{th}$ (6to) piso, la cual está a 72 pies sobre el suelo. ¿Qué fruta llega primero al suelo? ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre las llegadas de las frutas al suelo?

Revisión mixta

Grafica . Identifica lo siguiente:
1. Vértice
2. Interceptos $x-$
3. Interceptos $y-$
4. Eje de simetría

¿Cuál es la diferencia entre $y=x+3$ y $y=x^2+3$ ?
Determina el dominio y rango de $y=-(x-2)^2+7$ .
El Club Glee está vendiendo salchichas y bebidas gaseosas para una recaudación de fondos. El viernes, el club vendió 112 salchichas y 70 gaseosas que sumaron $154,00. El sábado, el club vendió 240 salchichas y 120 gaseosas y ganó $300,00. ¿Cuánto vale cada gaseosa? ¿Y cada salchicha?

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