Cómo completar el cuadrado

En esta Sección aprenderás a encontrar las soluciones de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

Imagina que te dejaron de tarea un trinomio cuadrado perfecto para factorizar, el cual escribiste en tu cuaderno. Sin embargo, accidentalmente dejaste caer tu cuaderno en un charco y el último término en el trinomio no se puede leer. Todo lo que ves son los dos primeros términos, $x^2 + 16x$ . ¿Cómo lo harías para encontrar el tercer término? Una vez que encontraste el tercer término, si factorizaras el trinomio y lo dejaras igual a 0, ¿cuál sería la solución(es) para la ecuación? En esta Sección aprenderás cómo completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas como esta.

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Enlace multimedia: Visita la página http://www.mathsisfun.com/algebra/completing-square.html - para aprender más sobre cómo completar el cuadrado.

Orientación

Completar el cuadrado es un método usado para crear un trinomio cuadrado perfecto, como aprendiste en la Sección anterior.

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma $a^2+2(ab)+b^2$ , lo que se factoriza en $(a+b)^2$ .

Ejemplo Á

Encuentra el valor faltante para crear un trinomio cuadrado perfecto: $x^2+8x+?$ .

Solución:

El valor de $a$ es $x$ .Para encontrar $b$ , usa la definición de del término del medio del trinomio cuadrado perfecto.

$&& 2(ab) &= 8x\\\a \ \text{is} \ x, && 2(xb) &= 8x\\\\text{Solve for} \ b: && \frac{2xb}{2x} &= \frac{8x}{2x} \rightarrow b=4$

Para completar el cuadrado necesitas el valor de $b^2$ .

$b^2=4^2=16$

El valor faltante es 16. El trinomio cuadrado perfecto que estamos buscando es $x^2+8x+16$ .

Para completar el cuadrado, la ecuación debe estar en la forma: $y=x^2+\left(\frac{1}{2} b \right )x+b^2$ .

Mirando el ejemplo anterior, $\frac{1}{2}(8)=4$ y $4^2=16$ .

Ejemplo B

Encuentra el valor faltante para completar el cuadrado de $x^2+22x+$ ?. Luego factoriza.

Solución:

Usa la definición del término medio para competir el cuadrado.

$\frac{1}{2} (b)=\frac{1}{2} (22)=11$

Por lo tanto, $11^2=121$ y el trinomio cuadrado perfecto es $x^2+22x+121$ . Reescribiendo en forma factorizada, la ecuación es $(x+11)^2$ .

Cómo resolver completando el cuadrado

Una vez que has completado el cuadrado, puedes resolver usando el método aprendido en la Sección anterior.

Ejemplo C

Resuelve $x^2+22x+121=0$ .

Solución: Completando el cuadrado y factorizando, la ecuación queda:

$&& (x+11)^2 &= 0\\\\text{Solve by taking the square root:} && x+11 &= \pm0\\\\text{Separate into two equations:} && x+11 &=0 \ or \ x+11=0\\\\text{Solve for} \ x: && x &= -11$

Ejemplo D

Resuelve $k^2-6k+8=0$ .

Solución:

Usando la definición para completar el cuadrado, $\frac{1}{2}(b)=\frac{1}{2}(-6)=-3$ . Por lo tanto, el último valor del trinomio cuadrado perfecto es $(-3)^2=9$ . La ecuación dada es:

$k^2-6k+8=0, \ and \ 8 \neq 9$

Para factorizar, completa el cuadrado sustrayendo 8 y luego sumando 9 en cada lado:

$k^2-6k=-8$

Recuerda usar la propiedad de igualdad de la adición.

$&& k^2-6k+9 &= -8+9\\\\text{Factor the left side.} && (k-3)^2 &= 1\\\\text{Solve using square roots.} && \sqrt{(k-3)^2} &= \pm \sqrt{1}\\\&& k-3 &=1 \ or \ k-3=-1\\\&& k &= 4 \ or \ k=2$

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Resuelve $x^2+10x+9=0$ .

Solución:

Primero, encuentra $b$ :

$\frac{1}{2}(b)=\frac{1}{2}(10)=5$

Por lo tanto, el último valor del trinomio cuadrado perfecto es $5^2=25$ . La ecuación dada es:

$x^2+10x+9=0, \ and \ 9 \neq 25$

Para factorizar, debemos convertir el lado izquierdo en un trinomio cuadrado perfecto.

Resta 9:

$x^2+10x=-9$

Completa el cuadrado: Recuerda usar la propiedad de igualdad de la adición.

$&& x^2+10x+25 &= -9+25\\\\text{Factor the left side.} && (x+5)^2 &= 16\\\\text{Solve using square roots.} && \sqrt{(x+5)^2} &= \pm \sqrt{16}\\\&& x+5 &=4 \ or \ x+5=-4\\\&& x &= -1 \ or \ x=-9$

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Solving Quadratic Equations by Completing the Square (14:06)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

¿Qué significa "completar el cuadrado"?
Describe el proceso usado para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado.

Completa el cuadrado para cada expresión.

$x^2+5x$
$x^2-2x$
$x^2+3x$
$x^2-4x$
$3x^2+18x$
$2x^2-22x$
$8x^2-10x$
$5x^2+12x$

Resuelve cada ecuación cuadrática completando el cuadrado.

$x^2-4x=5$
$x^2-5x=10$
$x^2+10x+15=0$
$x^2+15x+20=0$
$2x^2-18x=0$
$4x^2+5x=-1$
$10x^2-30x-8=0$
$5x^2+15x-40=0$

Revisión mixta

Una pelota dejada caer desde una altura de cuatro pies rebota 70% de su altura previa. Escribe los cinco primeros términos de esta secuencia. ¿Qué tan alto llegará la pelota en su (8vo) rebote?
Reescribe en forma estándar: $y=\frac{2}{7} x-11$ .
Grafica $y=5 \left( \frac{1}{2} \right)^x$ . ¿Es esto un crecimiento exponencial o va decayendo? ¿Cuál es el factor de crecimiento?
Resuelve para $r: |3r-4| \le 2$ .
Resuelve para $m:-2m+6=-8(5m+4)$ .
Factoriza $4a^2+36a-40$ .

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