Forma vértice de una ecuación cuadrática

En esta Sección aprenderás cómo usar la forma vértice de una ecuación cuadrática para encontrar el vértice al completar el cuadrado.

Supongamos que un buzo se sumerge en el océano, y su trayectoria puede ser trazada por la parábola $y=x^2-4x+2$ , con el valor de $y$ representando la distancia del buzo sobre o debajo del agua en pies. ¿Qué tan abajo de la superficie del agua decendería el buzo? En esta Sección aprenderás cómo encontrar el vértice de una parábola como la que representa la trayectoria del buzo completando el cuadrado.

Orientación

Hay varias maneras de escribir la ecuación de una parábola:

Forma estándar: $y=ax^2+bx+c$
Forma factorizada: $y=(x+m)(x+n)$
Forma vértice: $y=a(x-h)^2+k$

Forma vértice de una ecuación cuadrática: $y=a(x-h)^2+k$ , donde $(h,k)=$ vértice de la parábola y $a=$ coeficiente principal

Ejemplo Á

Determina el vértice de $y=-\frac{1}{2} (x-4)^2-7$ . ¿Es este un punto mínimo o máximo de la parábola?

Solución:

Usando la definición de forma vértice, $h=4 \text{ and } k=-7$ .

El vértice es (4, –7).
Ya que $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.
Por lo tanto, el vértice (4, -7) es un punto máximo de la parábola.

Una vez que sabes el vértice, puedes usar la simetría para graficar la parábola.

$x$	$y$
2
3
4	–7
5
6

Ejemplo B

Escriba la ecuación para una parábola con $a=3$ y vértice (-4, 5) en forma vértice.

Solución:

Usando la definición de forma vértice, $y=a(x-h)^2+k, h=-4$ y $k=5$ .

$y &= 3(x-(-4))^2+5\\\y &= 3(x+4)^2+5$

Cómo encontrar el vértice completando el cuadrado

Considera la ecuación cuadrática $y=x^2+4x-2$ . ¿Cuál es el vértice? Podrías graficar esto usando tu calculadora gráfica y determinar el vértice o podrías completar el cuadrado.

Ejemplo C

Encuentra el vértice de $y=x^2+4x-2$ .

Solución:

Empieza completando el cuadrado. Ya que $\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}4=2, 2^2=4$ .

$&& y&=x^2+4x-2\\\\text{Ádd 2 to each side} && y+2 &= x^2+4x\\\\text{Ádd 4 to each side} && y+2+4 &=x^2+4x+4 \\\\text{Factor the perfect square trinomial}&& y+6 &= (x+2)^2\\\\text{Subtract 6 from each side to get into vértice form}&& y&= (x+2)^2 -6$

El vértice es $(-2, -6)$ .

Revisión en video

(Sólo en inglés)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Práctica Guiada

Una flecha es disparada hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad de 50 m/s . ¿Cuál es la altura máxima que la flecha alcanzará y en qué momento sucederá?

Solución:

La altura máxima es el vértice de la parábola, cuando la parábola se abre hacia abajo. Por lo tanto, necesitamos reescribir la ecuación en forma vértice.

$\text{We rewrite the equation in vérticet form.} && y &= -4.9t^2+50t+2\\\&& y-2 &= -4.9t^2+50t\\\&& y-2 &= -4.9(t^2-10.2t)\\\\text{Complete the square inside the parentheses.} && y-2-4.9(5.1)^2 &= -4.9(t^2-10.2t+(5.1)^2)\\\\text{Ádd 129.45 to get into vértice form.}&& y-129.45 &= -4.9(t-5.1)^2\\\&& y &= -4.9(t-5.1)^2+129.45$

Ya que el valor $y$ del vértice es 129,45, entonces la altura máxima es 129,45 metros.

Práctica

El siguiente vídeo (sólo disponible en inglés) muestra ejemplos con explicaciones de algunos de los ejercicios de práctica. Ten en cuenta que los números pueden diferir entre los ejercicios del video y los ejercicios listados a continuación. Sin embargo, el ejercicio de práctica es el mismo en ambos casos. CK-12 Basic Álgebra: Solving Quadratic Equations by Completing the Square (14:06)

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Usando la ecuación de la flecha en la Sección:
1. a. ¿Qué tan alto estará la flecha cuatro segundos después del disparo? ¿Después de ocho segundos?
2. b. ¿En qué momento tocará el suelo la flecha nuevamente?

Escribe la ecuación para la parábola con la información dada.

$a=a$ , vértice $=(h, k)$
$a=\frac{1}{3}$ , vértice $=(1, 1)$
$a=-2$ , vértice $=(-5, 0)$
5. Contiene el punto (5, 2) y vértice (1, –2)
$a=1$ , vértice $=(-3, 6)$

Reescribe cada función cuadrática en forma vértice.

$y=x^2-6x$
$y+1=-2x^2-x$
$y=9x^2+3x-10$
$y=32x^2+60x+10$

Para cada parábola, encuentra:

El vértice
Interceptos $x-$
Intercepto $y-$
Si se abre hacia arriba o hacia abajo
El gráfico de la parábola

$y-4=x^2+8x$
$y=-4x^2+20x-24$
$y=3x^2+15x$
$y+6=-x^2+x$
$x^2-10x+25=9$
$x^2+18x+81=1$
$4x^2-12x+9=16$
$x^2+14x+49=3$
$4x^2-20x+25=9$
$x^2+8x+16=25$
Sam lanza un huevo hacia abajo desde una altura de 25 pies. La velocidad inicial del huevo es 16 pies/segundo. ¿Cuánto tiempo toma que el huevo toque el piso?
Ámanda y Dolvin salen de su casa al mismo tiempo. Ámanda camina hacia el sur y Dolvin va al este en bicicleta. Media hora más tarde están a 5,5 millas de distancia de cada uno y Dolvin ha cubierto tres millas más que la distancia que Ámanda cubrió. ¿Qué tan lejos caminó Ámanda y qué tan lejos de Dolvin en bicicleta?
Dos autos salen de una intersección. Un auto va hacia el norte; el otro va hacia el este. Cuando el auto viajando hacia el norte había recorrido 30 millas, la distancia entre los autos es 10 millas más que el doble de la distancia viajada por el auto que va hacia el este. Encuentra la distancia entre los autos en ese momento.

Evaluación breve

Grafica e identifica:
1. El vértice
2. El eje de simetría
3. El dominio y el rango
4. El intercepto $y-$
5. Los interceptos $x-$ estimados al décimo más cercano

Resuelve $y=x^2+9x+20$ graficando.
Resuelve para $x: 74=x^2-7$ .
Una pelota de béisbol es lanzada desde una altura inicial de 5 pies con una velocidad inicial de 100 pies/seg.
1. ¿Cuál es la altura máxima de la pelota?
2. ¿Cuándo tocará el suelo la pelota?
3. ¿En qué momento está la pelota a 90 pies del suelo?

Resuelve completando el cuadrado: $v^2-20v+25=6$

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